位移变分方程ppt课件VIP

.,55位移变分方程,在位移变分法中，所取泛函为总势能，其宗量为位移状态数，。现在来导出位移变分方程。,.,用位移表示的平衡微分方程（在A中）用位移表示的应力边界条件（在上）位移边界条件（在上）。,实际位移,(a),其中、属于静力平衡条件，属于约束条件。对于实际位移，可将看成是必要条件，而、是充分条件。,1.实际平衡状态的位移、，必须满足,.,2.虚位移状态虚位移（数学上称为位移变分），表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，如图所示。虚位移应满足上的约束边界条件，即,虚位移,(b),（在上）。,.,虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态就构成实际平衡状态附近的一种邻近状态。,(c),虚位移,.,微分是在同一状态下，研究由于位置(坐标)改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量x,y；而因变量为函数，如位移，有,(d),变分与微分的比较,变分与微分,.,变分是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，如，有,变分与微分,(e),.,由于微分和变分都是微量，所以a.它们的运算方式相同，如式(d)，(e)；b.变分和微分可以交换次序，如,变分与微分,(f),.,当发生虚位移（位移变分）时，,虚位移上功和能,由于虚位移引起虚应变，,外力势能的变分：,外力的虚功（外力功的变分）：,3.在虚位移上弹性体的功和能,.,形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功,由于实际应力在虚应变之前已存在,作为常力计算，故无系数。,虚位移上功和能,(j),.,（1）在封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加应等于外力势能的减少（即等于外力所做的虚功）。,位移变分方程,4.弹性力学中位移变分方程的导出,.,（2）位移变分方程将式(g)的代入上式,得,它表示，在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。,位移变分方程,.,位移变分方程,它表示，在实际平衡状态发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。,（3）虚功方程将式(j)的代入上式，得,.,其中形变势能的变分，如式(j)所示，外力功的变分，如式(g)所示。,位移变分方程,（4）最小势能原理式(k)可写成,其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d),W弹性体的外力功，如5-4式(a)。,可以证明，式(n)可以写成为,.,证明如下：,位移变分方程,.,由于弹性体的总势能为故式(o)可以表示为再将总势能对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得综合式(p)，(q)，即得,(p),(q),(r),位移变分方程,.,位移变分方程,这就是最小势能原理。它表示在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能为极小值。,.,最小势能原理：数学表示如图(a)，物理意义如图(b),u,u（实际位移）,(a),(b),.,（5）位移变分方程的又一形式式(l)中可化为,又一形式,.,应用分部积分公式和格林公式（其中s为平面域A的边界，l，m为边界外法线的方向余弦），可将进行转换。,又一形式,.,在上，虚位移，对其余几项进行同样的转换，并代入式(),可得又一形式的位移变分方程：,又一形式,例如，对第一项计算，,(s),.,因，都是任意的独立的变分，为了满足上式,必须,（在A中）(v),（在上）(w),又一形式,.,由此可见，从位移变分方程可以导出平衡微分方程和应力边界条件，或者说，位移变分方程等价于平衡微分方程和应力边界条件。,.,实际平衡状态的位移必须满足a.上的约束(位移)边界条件；b.上的应力边界条件；c.域A中的平衡微分方程。,5.结论,结论,位移变分方程可