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文档简介

复变函数与积分变换,课程特点：,注意复变与一元微积分差别。,积分变换将时域问题转化到频域。,与二元微积分关系。,复变函数,积分变换,应用广泛。,参考书目,1钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社2余家荣，复变函数，高等教育出版社3祝同江，积分变换，高等教育出版社E.B.Saff,A.D.Snider等，复分析基础及工程应用，机械工业出版社5自测题,第一节复数及其表示,一、复数的概念及代数运算,二、复数的几何表示,三、小结与思考,一、复数的概念及代数运算,z=x+iy,虚部,实部,虚数单位,复数：,或z=x+yi.,实部和虚部分别,1.复数的概念,对虚数单位的规定:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,练习,答案：,2.复数的代数运算,1.两复数的和(差):,2.两复数的积:,3.两复数的商:,共轭复数的性质:,以上各式证明略.,例1,解,例2,解,二、复数的几何表示,1.复平面的定义,2.复数的模(或绝对值),例3求复数,的实部、虚部和模.,解因为,所以,所以,3.利用平行四边形法则求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,4.复数和差的模的性质,5.复数的辐角,说明,辐角不确定.,辐角主值的定义:,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,6.复数的三角表示和指数表示,例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,例5,解,(三角式),(指数式),7.乘积与商,命题1,两复数相乘就是把模相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,例如，,思考：,命题2,商的模等于模的商;商的辐角等于辐角之差.,练习：,=1,例6,解,例7,解,例8证明：三角形的内角和是.,证明：,设三角形三个顶点为z1，z2，z3,对应的三个,于是,=,=,顶角分别为，,=,由于,=1,所以,+=+2k(k为某整数),由假设,0,0,0,所以,0+3,故k=0,即+=.,例9,证,两边同时开方得,思考：已知z1,z2非零，什么时候等式相等?,答案：,三、小结与思考,应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:,学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.重点是几种表示法之间的相互转化.,思考题,复数为什么不能比较大小？,答案：,放映结束，按Esc退出.,作业：P121(2)(4),3(3)(4),5,无定义,扩展：幅角的计算公式,LeonhardEuler,Born:15April17
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