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第三节无穷小量与无穷大量,2.3.1无穷小量,1.定义1设f(x)在某U(x0)内有定义.若则称f(x)为当xx0时的无穷小量.,例如：,(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.,如sinx是x0时的无穷小量，但,注,(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;,(3)关于有界量.,2.无穷小量的运算性质,时,有,定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.,证:考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.,其中为,时的无穷小量.,定理2.3.1.(无穷小与函数极限的关系),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证.,2.3.2、无穷大,定义2.若任给M0,一切满足不等式,的x,总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将式改为,则记作,(正数X),记作,总存在,概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限).,注意:,1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.,2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!,例如,函数,当,但,不是无穷大!,例.证明,证:任给正数M,要使,即,只要取,则对满足,的一切x,有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线.,渐近线,说明:,无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小;,若,为无穷小,且,则,为无穷大.,则,定理2.3.2在自变量的同一变化过程中,2.3.3无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例.,但,可见无穷小趋于0的速度是多样的.,若,则称是比高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称是比低阶的无穷小;,则称是的同阶无穷小;,则称是关于的k阶无穷小;,则称是的等价无穷小,记作,定义2.3.3,例如,当,时,又如，,故,时,是关于x的二阶无穷小,且,例1.证明:当,时,证:,命题2.3.2,证:,即,即,例如,故,命题2.3.3设,且,存在,则,证:,例如,无穷小量的等价替换定理,求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小量来代替因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计算简化,定理3.12的意义:,常用等价无穷小:,无穷小量的等价替换定理的几何意义,解当x0时tan2x2xsin5x5x所以,说明只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代
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