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文档简介

两个向量的数量积,一、共线向量:,零向量与任意向量共线.,若P为A,B中点,则,2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有,平面向量的夹角：,平面向量的数量积的定义：,即,新授,一、几个概念,1）两个向量的夹角的定义,夹角的顶点为两个向量的起点,不同在任何一个平面内,平移到一个平面内,锐角或直角,直角,3）两个向量的数量积,注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。,数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。,B,A,注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。,4）射影,二、.空间向量的数量积性质,注意：性质2）是证明两向量垂直的依据；性质3）是求向量的长度（模）的依据；（）性质5是求两个向量夹角的依据；,对于非零向量，有：,三.空间向量的数量积满足的运算律,注意：,课堂练习,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,l,要证l与g垂直，只需证lg0,而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得g=xm+yn,要证lg0,只需lg=xlm+yln=0,而lm0，ln0,故lg0,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使,g=xm+yn,lg=xlm+ylnlm=0,ln=0lg=0lg这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,数量积的应用（一）求线线角,变式,设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则BCD是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定,C,例3已知在平行六面体中，,求对角线的长。,A,数量积的应用（二）求线段长度,例4如图，已知线段在平面内，线段，线段，线段，如果，求、之间的距离。,解：由，可知.由知.,课堂练习,1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A.B.C.D.,B,30,(2，2),数量积的应用（三）证明垂直,在正方体AC1中A1B1面BCC1B1且BC1B1CB1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证，A1CB1D1,由三垂线定理知A1CBC1,结论:正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直,小结：到目前为止，我们可以利用向
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