2016年全国统一高考数学模拟试卷(理科)

.2016年全国统一高考数学模拟试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合A=x|x2，则AB=（）A1，2B0，2C（1，2D1，0）【考点】交集及其运算【分析】求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由B中y=，得到，即x1，B=（1，+），A=（，2，AB=（1，2，故选：C2“m=1”是“复数z=m2+mi1为纯虚数”的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】复数z=m2+mi1为纯虚数，m为实数，解得m即可判断出结论【解答】解：复数z=m2+mi1为纯虚数，m为实数，解得m=1“m=1”是“复数z=m2+mi1为纯虚数”的充分不必要条件故选：A3已知函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到函数g（x）的图象，h（x）=cos（x+），g（x）与h（x）图象的零点重合，则m不可能的值为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，诱导公式，求得m，可得结论【解答】解：函数f（x）=sinx的图象向右平移m个单位后得到g（x）=sin（xm）=cos（x+m）=cos（xm）的图象又h（x）=cos（x+）的图象，g（x）与h（x）图象的零点重合，故g（x）=cos（xm）和h（x）=cos（x+）的图象相差半个周期，=km，即 m=k，kZ，故m的值不会是，故选：B4为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A150B180C200D280【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有C53A33=60种，若是1，2，2，则有A33=90种所以共有150种不同的方法故选：A5已知函数g（x）是定义在区间3m，m2m上的偶函数（m0），且f（x）=，则fA1B2C9D10【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的定义域的对称性求出m，利用函数的周期性进行转化求解即可【解答】解：函数g（x）是定义在区间3m，m2m上的偶函数（m0），3m+m2m=0，即m22m3=0，得m=3或m=1，m0，m=3，则当x0时，f（x）=f（x3），则f=f（0）=f（3）=（3）2+1=9+1=10，故选：D6如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的表面积为（）AB3C4D【考点】由三视图求面积、体积【分析】球心到棱锥各表面的距离等于球的半径，求出棱锥的各面面积，使用体积法求出内切球半径【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中SA底面ABCD，底面ABCD是边长为3的正方形，SA=4SB=SD=5，SSAB=SSAD=，SSBC=SSCD=S底面=32=9V棱锥=12S表面积=62+7.52+9=36设内切球半径为r，则球心到棱锥各面的距离均为rS表面积r=V棱锥r=1内切球的表面积为4r2=4故选C7若不等式组表示的区域，不等式（x）2+y2表示的区域为，向区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域中芝麻数约为（）A114B10C150D50【考点】几何概型；简单线性规划【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域内的概率【解答】解：作出平面区域如图：则区域的面积为SABC=区域表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域和的公共面积为S=+=芝麻落入区域的概率为=落在区域中芝麻数约为360=30+20114故选A8执行如图所示的程序框图，若输出的S值为4，则条件框内应填写（）Ai3？Bi5？Ci4？Di4？【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=10满足判断框内的条件，第1次执行循环体，s=1021=8，i=2，满足判断框内的条件，第2次执行循环体，s=822=4，i=3，满足判断框内的条件，第3次执行循环体，s=423=4，i=4，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为4，则条件框内应填写：i4，故选：D9已知直线：y=kxk+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，则m的取值范围是（）Am3Bm3Cm3Dm3【考点】曲线与方程【分析】直线：y=kxk+1恒过定点（1，1），利用直线：y=kxk+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，定点在圆内或圆上，即可得出m的取值范围【解答】解：直线：y=kxk+1恒过定点（1，1），直线：y=kxk+1与曲线C：x2+2y2=m有公共点，12+212m，m3故选：A10直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是正三角形，三棱往的高为，若P是A1B1C1中心，且三棱柱的体积为，则PA与平面ABC所成的角大小是（）ABCD【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意设底面正ABC的边长为a，过P作PO平面ABC，垂足为O，则点O为底面ABC的中心，故PAO即为PA与平面ABC所成角，由此能求出PA与平面ABC所成的角【解答】解：由题意设底面正ABC的边长为a，过P作PO平面ABC，垂足为O，则点O为底面ABC的中心，故PAO即为PA与平面ABC所成角，|OA|=，|OP|=，又直三棱柱ABCA1B1C1中体积为，由直棱柱体积公式得V=，解得a=，tanPAO=，PA与平面ABC所成的角为故选：C11如图，已知F1、F2为双曲线C：（a0，b0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足=，（）=0，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=【考点】双曲线的标准方程【分析】由题意，|PF1|=|F1F2|2c，|QF1|=a，|QF2|=a，由余弦定理可得=，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程【解答】解：由题意，（）=0，|PF1|=|F1F2|=2c，|QF1|=a，|QF2|=a，由余弦定理可得=，c=a，b=a，双曲线C的渐近线方程为y=x故选：B12已知函数f（x）=x2axalnx（aR），g（x）=x3+x2+2x6，g（x）在1，4上的最大值为b，当x1，+）时，f（x）b恒成立，则a的取值范围（）Aa2Ba1Ca1Da0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在1，4上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在1，+）上的单调性，令fmin（x）b解出a的范围【解答】解：g（x）=3x2+5x+2，令g（x）=0得x=2或x=当1x2时，g（x）0，当2x4时，g（x）0，g（x）在1，2）上单调递增，在（2，4上单调递减，b=g（2）=0f（x）0在1，+）上恒成立，f（x）=2xa=，令h（x）=2x2axa，=a2+8a（1）若=a2+8a0，即8a0，则h（x）0恒成立，f（x）0恒成立，f（x）在1，+）上是增函数，fmin（x）=f（1）=1a0，解得a1，8a0（2）若=a2+8a0，即a8或a0令f（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=若a8，则0，则h（x）0在1，+）上恒成立，f（x）0恒成立，f（x）在1，+）上是增函数，fmin（x）=f（1）=1a0，解得a1，a8若01，即0a1，则h（x）0在1，+）上恒成立，f（x）0恒成立，f（x）在1，+）上是增函数，fmin（x）=f（1）=1a0，解得a1，0a1若1，即a1时，则1x时，h（x）0，当x时，h（x）01x时，f（x）0，当x时，f（x）0f（x）在1，上单调递减，在（，+）上单调递增此时fmin（x）f（1）=1a0，不符合题意综上，a的取值范围是（，1故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13设某总体是由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号是10【考点】简单随机抽样【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，10，其中第二个和第四个都是02，重复可知对应的数值为08，02，14，07，10，则第5个个体的编号为10故答案为：1014在四边形ABCD中，ABCD， =0，AB=2BC=2CD=2，则在上的投影为【考点】平面向量数量积的运算【分析】先建立坐标系，根据坐标的运算和向量的投影即可求出【解答】解：ABCD， =0，AB=2BC=2CD=2，以B为坐标原点，以BA为x轴，BC为y轴，建立如图所示的坐标系，A（2，0），C（0，1），D（1，1），=（1，1），=（2，1），=1（2）+11=3，|=，在上的投影为=，故答案为：15已知数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=，nN*，则b2016=【考点】数列递推式【分析】数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=，nN*，可得b1=1a1=，bn+1=求出b2，b3，b4，猜想：bn=，即可得出【解答】解：数列an，bn满足a1=，an+bn=1，bn+1=，nN*，b1=1a1=，bn+1=b2=，b3=，b4=，猜想：bn=，经过验证：bn+1=成立则b2016=故答案为：16过双曲线=1（a0，b0）的左焦点F（c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为原点，若，则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PDl，则l为抛物线的准线，据此可求出P点的横坐标，后在RtPDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：|OF|=c，|OE|=a，OEEF|EF|=b，E为PF的中点，|PF|=2b，又O为FF的中点，PFEO，|PF|=2a，抛物线方程为y2=4cx，抛物线的焦点坐标为（c，0），即抛物线和双曲线右支焦点相同，过F点作x轴的垂线l，过P点作PDl，则l为抛物线的准线，PD=PF=2a，P点横坐标为2ac，设P（x，y），在RtPDF中，PD2+DF2=PF2，即4a2+y2=4b2，4a2+4c（2ac）=4（c2b2），解得e=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17设数列an满足a1=2，an+1=2ann+1，nN*，（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由数列an满足a1=2，an+1=2ann+1，nN*，变形为an+1（n+1）=2（ann），利用等比数列的通项公式即可得出（2）bn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（1）数列an满足a1=2，an+1=2ann+1，nN*，an+1（n+1）=2（ann），数列ann是等比数列，首项为1，公比为2ann=2n1，即an=n+2n1（2）bn=，数列bn的前n项和Sn=+=18某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元）253209IOS系统（元）431897（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据题意列出22列联表，根据22列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.42.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）；【解答】解：（1）根据题意列出22列联表如下：咻得多少手机系统咻得多咻得少合计安卓325IOS235合计5510K2=0.42.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）= 故X的分布列为：X012P数学期望E（X），E（X）=0+1+2=0.8 19在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB=60，AD=2，AM=1，E为AB的中点（）求证：AN平面MEC；（）在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF证明ANEF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN平面MEC；（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断【解答】解：（I）CM与BN交于F，连接EF由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点因为E是AB的中点，所以ANEF又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB又四边形ADNM是矩形，面ADNM面ABCD，DN面ABCD，如图建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，1，h），=（，2，0），=（0，1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）则，令y=h，=（2h， h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），cos，=，解得h=，在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角PECD的大小为20在平面直角坐标系xOy中，EF两点的坐标分别为（0，），（0，），动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为（1）求动点G的轨迹方程；（2）过点O作两条互相垂直的射线，与（1）中的轨迹分别交于A，B两点，求OAB面积的最小值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（1）设动点G的坐标（x，y），直线EG的斜率，直线FG的斜率（x0），由直线EG与直线FG的斜率之积为，能求出求动点G的轨迹方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）12=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式、椭圆性质，结合已知能求出OAB面积的最小值【解答】解：（1），设动点G的坐标（x，y），直线EG的斜率，直线FG的斜率（x0），又，动点G的轨迹方程为 （ 4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m，联立，消去y，得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）12=0，OAOB，x1x2+y1y2=0，x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即，把，代入，得，整理得7m2=12（k2+1），O到直线AB的距离d=，OAOB，OA2+OB2=AB22OAOB，当且仅当OA=OB时取“=”号由dAB=OAOB，得d，AB2d=，即弦AB的长度的最小值是，OAB面积的最小值为21已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（1）若函数g（x）=+axf（x），求g（x）在区间，e上的最大值；（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）令g（x）=0得出g（x）的极值点，判断g（x）在，e上的单调性，根据单调性得出最大值；（2）对a进行讨论，判断g（x）在（0，e上的单调性，求出最小值，令最小值为3解出a【解答】解：（1）g（x）=+lnx，g（x）=x+=当x1时，g（x）0，当1xe时，g（x）0g（x）在，1上单调递增，在（1，e上单调递减，当x=1时，g（x）在，e上取得最大值g（1）=（2）g（x）=axlnx，g（x）=a当a0时，g（x）0，g（x）在（0，e上是减函数，gmin（x）=g（e）=ae1=3，解得a=（舍）当a0时，令g（x）=0得x=当0x时，g（x）0，当x时，g（x）0当0e即a时，g（x）在（0，上单调递减，在（，e上单调递增，gmin（x）=g（）=1ln=3，解得a=e2当e即0a时，g（x）在（0，e上是减函数，gmin（x）=g（e）=ae1=3，解得a=（舍）综上，a=e2选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，BAC的平分线与BC相交于点D，AE=2BD=2（1）求证：EA=ED；（2）求DCBE的值【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定；相似三角形的性质【分析】（1）由圆的弦切角定理和内角平分线的性质，可得DAE=ADE，即可得证；（2）由对应角相等，可得ABECAE，由相似三角形的性质和内角平分线定理，可得DBDE=DCBE，代入计算即可得到所求值【解答】解：（1）证明：ADE=ABD+BAD，DAE=DAC+EAC，由AE为ABC的外接圆的切线，由弦切角定理可得ABD=EAC，由AD为BAC的平分线，可得BAD=DAC，相加可得DAE=ADE，则EA=ED （2）ABECAE，又，即DBAE=DCBE，由（1）知EA=ED，DBDE=DCBE根据已知条件AE=2BD=2可得BD=1，EA=ED=2，所以DBDE=DCBE=2选修4-4：坐标系与参数方程（共1小