2016年高考数学中难题

.2016年高考数学中难题一选择题（共9小题）1（2016新课标）已知函数f（x）（xR）满足f（x）=2f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则（xi+yi）=（）A0BmC2mD4m2（2016新课标）已知F1，F2是双曲线E：=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=，则E的离心率为（）ABCD23（2016新课标）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D4（2016新课标）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD5（2016新课标）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个6（2016浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）ASn是等差数列BSn2是等差数列Cdn是等差数列Ddn2是等差数列7（2016浙江）已知实数a，b，c（）A若|a2+b+c|+|a+b2+c|1，则a2+b2+c2100B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，则a2+b2+c2100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，则a2+b2+c2100D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，则a2+b2+c21008（2016四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）9（2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足=，=2，动点P，M满足=1，=，则|2的最大值是（）ABCD二填空题（共21小题）10（2016新课标）设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为 11（2016新课标）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元12（2016新课标）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 13（2016新课标）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 14（2016新课标）已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= 15（2016浙江）如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 16（2016浙江）已知向量，|=1，|=2，若对任意单位向量，均有|+|，则的最大值是 17（2016浙江）设数列an的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，则a1= ，S5= 18（2016山东）已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 19（2016北京）双曲线=1（a0，b0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a= 20（2016北京）设函数f（x）=若a=0，则f（x）的最大值为 ；若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 21（2016四川）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，则f（）+f（2）= 22（2016上海）方程3sinx=1+cos2x在区间0，2上的解为 23（2016上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x）= 24（2016上海）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于 25（2016上海）设a0，b0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为 26（2016江苏）定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 27（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是 28（2016江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上，f（x）=，其中aR，若f（）=f（），则f（5a）的值是 29（2016江苏）已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是 30（2016江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是 2016年高考数学中难题参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1（2016新课标）已知函数f（x）（xR）满足f（x）=2f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则（xi+yi）=（）A0BmC2mD4m【解答】解：函数f（x）（xR）满足f（x）=2f（x），即为f（x）+f（x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（x1，2y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（x2，2y2）也为交点，则有（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+（xm+ym）=（x1+y1）+（x1+2y1）+（x2+y2）+（x2+2y2）+（xm+ym）+（xm+2ym）=m故选：B2（2016新课标）已知F1，F2是双曲线E：=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1=，则E的离心率为（）ABCD2【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则丨MF1丨=，丨MF2丨=，sinMF2F1=，=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2e=0，e1，解得e=故选：A3（2016新课标）在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B4（2016新课标）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=另解：由AMFAEO，可得=，由BOHBFM，可得=，即有=即a=3c，可得e=故选：A5（2016新课标）定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A18个B16个C14个D12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，0，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1共14个故选：C6（2016浙江）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）ASn是等差数列BSn2是等差数列Cdn是等差数列Ddn2是等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则dn不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得=，=，两式相加可得，=2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列另解：可设A1B1B2，A2B2B3，AnBnBn+1为直角三角形，且A1B1，A2B2，AnBn为直角边，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列故选：A7（2016浙江）已知实数a，b，c（）A若|a2+b+c|+|a+b2+c|1，则a2+b2+c2100B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，则a2+b2+c2100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，则a2+b2+c2100D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，则a2+b2+c2100【解答】解：A设a=b=10，c=110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=01，a2+b2+c2100；B设a=10，b=100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+bc|=01，a2+b2+c2100；C设a=100，b=100，c=0，则|a+b+c2|+|a+bc2|=01，a2+b2+c2100；故选：D8（2016四川）设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0x11x2），当0x1时，f（x）=，当x1时，f（x）=，l1的斜率，l2的斜率，l1与l2垂直，且x2x10，即x1x2=1直线l1：，l2：取x=0分别得到A（0，1lnx1），B（0，1+lnx2），|AB|=|1lnx1（1+lnx2）|=|2（lnx1+lnx2）|=|2lnx1x2|=2联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，|AB|xP|=函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0x11，则，PAB的面积的取值范围是（0，1）故选：A9（2016四川）在平面内，定点A，B，C，D满足=，=2，动点P，M满足=1，=，则|2的最大值是（）ABCD【解答】解：由=，可得D为ABC的外心，又=，可得（）=0，（）=0，即=0，即有，可得D为ABC的垂心，则D为ABC的中心，即ABC为正三角形由=2，即有|cos120=2，解得|=2，ABC的边长为4cos30=2，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，可得B（3，），C（3，），D（2，0），由=1，可设P（cos，sin），（02），由=，可得M为PC的中点，即有M（，），则|2=（3）2+（+）2=+=，当sin（）=1，即=时，取得最大值，且为故选：B二填空题（共21小题）10（2016新课标）设等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为64【解答】解：等比数列an满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=a1+q2a1=10，解得a1=8则a1a2an=a1nq1+2+3+（n1）=8n=，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64故答案为：6411（2016新课标）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元由题意，得，z=2100x+900y不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：210060+900100=216000元故答案为：21600012（2016新课标）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1ln2【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1ln213（2016新课标）已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是2x+y+1=0【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（x）=f（x），当x0时，f（x）=ln（x）+3x，即有x0时，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为y（3）=2（x1），即为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=014（2016新课标）已知直线l：mx+y+3m=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4【解答】解：由题意，|AB|=2，圆心到直线的距离d=3，=3，m=直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，|CD|=4故答案为：415（2016浙江）如图，在ABC中，AB=BC=2，ABC=120若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是【解答】解：如图，M是AC的中点当AD=tAM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=t，由ADEBDM，可得，h=，V=，t（0，）当AD=tAM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t，由等面积，可得，h=，V=，t（，2）综上所述，V=，t（0，2）令m=1，2），则V=，m=1时，Vmax=另解：由于PD=DA，PB=BA，则对于每一个确定的AD，都有PDB绕DB在空间中旋转，则PDAC时体积最大，则只需考察所有PDAC时的最大，设PD=DA=h，则V=S底h=hsin30（2h）2，二次函数求最值可知h=时体积最大为故答案为：16（2016浙江）已知向量，|=1，|=2，若对任意单位向量，均有|+|，则的最大值是【解答】解：由绝对值不等式得|+|+|=|（+）|，于是对任意的单位向量，均有|（+）|，|（+）|2=|2+|2+2=5+2，|（+）|=，因此|（+）|的最大值，则，下面证明：可以取得，（1）若|+|=|+|，则显然满足条件（2）若|+|=|，此时|2=|2+|22=51=4，此时|=2于是|+|=|2，符合题意，综上的最大值是，法2：由于任意单位向量，可设=，则|+|=|+|+|=|=|+|，|+|，|+|，即（+）26，即|2+|2+26，|=1，|=2，即的最大值是法三：设=，=，=，则=+，=，|+|=|+|=|，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+）2取得最大值6，由于|+|2+|）2=2（|2+|2）=10，于是（）2取得最小值4，则=，的最大值是故答案为：17（2016浙江）设数列an的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，nN*，则a1=1，S5=121【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由an+1=Sn+1Sn，可得Sn+1=3Sn+1，由S2=4，可得S3=34+1=13，S4=313+1=40，S5=340+1=121故答案为：1，12118（2016山东）已知函数f（x）=，其中m0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+）【解答】解：当m0时，函数f（x）=的图象如下：xm时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4mm2m（m0），即m23m（m0），解得m3，m的取值范围是（3，+），故答案为：（3，+）19（2016北京）双曲线=1（a0，b0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a=2【解答】解：双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=x，即a=b，正方形OABC的边长为2，OB=2，即c=2，则a2+b2=c2=8，即2a2=8，则a2=4，a=2，故答案为：220（2016北京）设函数f（x）=若a=0，则f（x）的最大值为2；若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（，1）【解答】解：若a=0，则f（x）=，则f（x）=，当x1时，f（x）0，此时函数为增函数，当x1时，f（x）0，此时函数为减函数，故当x=1时，f（x）的最大值为2；f（x）=，令f（x）=0，则x=1，若f（x）无最大值，则，或，解得：a（，1）故答案为：2，（，1）21（2016四川）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，则f（）+f（2）=2【解答】解：函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=4x，f（2）=f（0）=0，f（）=f（+2）=f（）=f（）=2，则f（）+f（2）=2+0=2，故答案为：222（2016上海）方程3sinx=1+cos2x在区间0，2上的解为或【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=22sin2x，即2sin2x+3sinx2=0可得sinx=2，（舍去）sinx=，x0，2解得x=或故答案为：或23（2016上海）已知点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，则f（x）的反函数f1（x）=log2（x1）（x1）【解答】解：点（3，9）在函数f（x）=1+ax的图象上，9=1+a3，解得a=2f（x）=1+2x，由1+2x=y，解得x=log2（y1），（y1）把x与y互换可得：f（x）的反函数f1（x）=log2（x1）故答案为：log2（x1），（x1）24（2016上海）在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2【解答】解：正四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱D1D底面ABCD，D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，tanD1BD=，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD=3，正四棱柱的高=3=2，故答案为：225（2016上海）设a0，b0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+）【解答】解：关于x，y的方程组无解，直线ax+y=1与x+by=1平行，a0，b0，即a1，b1，且ab=1，则b=，由基本不等式有：a+b=a+2=2，当且仅当a=1时取等，而a的范围为a0且a1，不满足取等条件，a+b2，故答案为：（2，+）26（2016江苏）定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间0，3上的图象如下：由图可知，共7个交点法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x0，3，故x=，共7个，故答案为：727（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆+=1（ab0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B，C两点，且BFC=90，则该椭圆的离心率是【解答】解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=a=a，可得B（a，），C（a，），由BFC=90，可得kBFkCF=1，即有=1，化简为b2=3a24c2，由b2=a2c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2=，可得e=，另解：设右焦点F（c，0），将y=代入椭圆方程可得x=a=a，可得B（a，），C（a，），=（ac，），=（ac，），=0，则c2a2十b2=0，因为b2=a2c2，代入得3c2=2a2，由e=，可得e2=，可得e=故答案为：28（2016江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1）上