概率论 第八讲二维离散随机变量的概率分布

.,教学目的：1.讲解二维离散随机变量的概率分布（联合、边缘）；2.讲解二维随机变量的分布函数(联合、边缘；离散连续）;3.讲解随机变量的独立性.,教学内容：2.92.11(与书上不同),第八讲二维离散随机变量的概率分布,.,.,在实际问题中,试验结果有时需要同,时用两个或两个以上的r.v.来描述.,例如用温度和风力来描述天气情况.,通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究,需考虑多维r.v.及其取值规律多维分布.,钢的成分.要研究这些r.v.之间的联系,就,.,二维随机变量及其分布,定义设为随机试验的样本空间，,则称(X,Y)为二维r.v.或二维随机向量,3.1,.,定义若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型r.v.,要描述二维离散型r.v.的概率特性及其与每个r.v.之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布,离散,.,解析表示法,设(X,Y)的所有可能的取值为,则称,为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布也简称概率分布或分布律,性质:,联合分布律,.,x1xi,(X,Y)的联合分布律表,.,二维离散r.v.的边缘分布律,由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.,.,1,x1xi,联合分布律,及边缘分布律,.,的求法,利用古典概型直接求；,利用乘法公式,.,例1某校新选出的学生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.,解X与Y的可能取值分别为0,1与0,1,2.,求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.,例3,由乘法公式,.,或由古典概型,相仿有,.,故联合分布律与边缘分布律为,01,012,3/156/151/15,3/152/150,pi,pj,1/3,2/3,1,6/158/151/15,.,例2二元两点分布,pj,pi,10,10,pq,pq,1,p+q=1，0p1,例4,.,.,(X,Y)的联合分布律及边缘分布为,01,-110,00,0,pj,pi,.,二维随机变量的联合分布函数,定义设(X,Y)为二维r.v.对任何一对,定义了一个二元,实函数F(x,y)，称为二维r.v.(X,Y)的分布函数，即,(记为),的概率,实数(x,y),事件,.,分布函数的几何意义,如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.,(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.,(x,y),.,联合分布函数的性质,(x,y),F性质,.,.,固定x,对任意的y1y2,固定y,对任意的x12),例2,.,解(1),(2),.,(3),可以将二维r.v.及其边缘分布函数的概念推广到n维r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数,.,随机变量的独立性将事件独立性推广到r.v.,设(X,Y)为二维r.v.若对任何,则称r.v.X和Y相互独立,实数x,y都有,3.3,定义,.,由定义知,二维r.v.(X,Y)相互独立,.,X与Y独立,即,对一切i,j有,离散型,.,例6例3中求(X,Y)的联合分布律及边缘分布为,01,-110,00,0,pj,pi,不独立,X,Y是否独立?,.,若X,Y为相互独立的r.v.,则aX+b,cY+d也相互独立；,X2,Y2也相互独立；,随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量,若,则称r.v.X1,X2,Xn相互独立,由命题知,.,若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如,X,Y相互独立，则,故不能说X=Y.,注意,由左表易得：,.,例7袋中5球,2白3黑,先后任取一球,取到的白球个数分别为X、Y,如果（1）无放回,(2）有放回。,.,（1）无放回,解,.,(X，Y)分布,.,(2）有