概率论与数理统计-2.2随机变量函数的分布

.,1,2.3随机变量函数的分布1.X是离散型随机变量2.X是连续型随机变量,.,2,在许多实际问题中，常常需要研究随机变量的函数。例如：,测量圆轴截面的直径d，而关心的却是截面积,由于测量的误差，d为随机变量，S就是随机变量d的函数,在统计物理中，已知分子的运动速度X的分布，求其动能的分布。,.,3,一般地，设y=f(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=f(x)的定义域内，则Y=f(X)也为一随机变量。,.,4,1.X是离散型随机变量,设随机变量X的分布列为,则函数Y=g(X)是离散型随机变量，可能的取值是g(x1),g(x2),g(xk),(k=1,2,n,).则Y=g(X)的概率分布为：,.,5,(1)若g(xk)互不相同，则事件Y=yi=g(xi)等价于事件X=xi，从而Y=g(X)的概率分布为：,.,6,(2)若某些g(xi)相同，比如g(xi1)g(xi2)=g(xil)=yi,(i=1,2,)则事件Y=yi=g(xi)等价于事件X=xi1X=xi2X=xil从而有：,.,7,步骤：1.确定Y的取值y1,y2,yi,2.求概率P(Y=yi)=pj3.列出概率分布表,.,8,例2.3.1设随机变量X的分布列如下表，试求Y=2X-1和Y=(X-1)2的分布列.,解(1)因为y=2x-1严格单调，所以yi(i=1,2,5)互不相同，Y所有可能取的值为-1,1,3,5,7.故Y的分布列为：,.,9,(2)因为Y=(X-1)2的取值分别为1,0,1,4,9.故Y的分布列为：,.,10,例设XB(2,0.3)，求下列随机变量的分布列1.Y1=X22.Y2=X2-2X3.Y3=3X-X2,解X的概率分布为,则Y1，Y2，Y3的分布列分别为,.,11,例设X服从参数为的泊松分布，试求Y=f(X)的分布列.其中,解易知Y的可能取值为-1,0,1，且有,.,12,2.X是连续型随机变量,设X为连续型随机变量，已知其分布函数FX(x)和密度函数fX(x)，随机变量Y=g(X)，要求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y).,步骤：(1)由Y=g(X)的分布函数这里G=x|g(x)y(2)求导数得Y=g(X)的概率密度为fY(y)=FY(y),注：解g(x)y时要考虑y的不同取值范围,.,13,例设随机变量，求X的线性函数的密度函数,解先根据Y与X的函数关系式求Y的分布函数:,.,14,从而，求导数得：,.,15,由此得到服从正态分布的随机变量的一个重要性质：,若随机变量,则,.,16,定理2.3.1设连续型随机变量X具有概率密度函数fX(x)，又设函数y=g(x)是x的单调函数，其反函数g1(y)有连续导数，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度函数为:,其中,.,17,证,(1)g(x)严格单调增加时，此时其反函数g1(y)在(,)也严格单调增加，则,故,于是得Y的概率密度：,.,18,(2)g(x)严格单调减小时，此时其反函数g1(y)在(,)也严格单调减小，则,故,注意，此时,.,19,于是得Y的概率密度：,综合上述两种情况，定理成立.,.,20,例设随机变量X的概率密度函数为,求随机变量Y=X2的概率密度函数。,解先求Y的分布函数FY(y)=P(Yy)=P(X2y),当y=0时，FY(y)=0当y0时，,所以Y的概率密度函数为,.,21,例设随机变量,求,的密度函数.,解X的取值范围为(0,1)，从而Y的取值范围为(1,3),当1y3时，Y的分布函数为,.,22,由于x0时,从而,因此当10时,故,.,24,例设随机变量X具有概率密度,求随机变量Y=2X+8的概率密度,解先求Y=2X+8的分布函数FY(y),.,25,于是得Y=2X+8的概率密度为：,.,26,例2.3.4设随