常用概率分布

.,1,第四章常用概率分布,.,2,第一节正态分布,NormalDistribution,.,3,定义若连续型随机变量x的概率分布密度函数为其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布，记为xN(,2)。相应的概率分布函数为,正态分布(normaldistribution),.,4,正态分布,正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=；f(x)在x=处达到极大，极大值；f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+曲线在x=处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+)区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的,.,5,正态分布,正态分布有两个参数，即平均数和标准差,.,6,正态分布,分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，,.,7,标准正态分布(standardnormaldistribution),=0,2=1的正态分布为标准正态分布(standardnormaldistribution)随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1),.,8,标准正态分布,对于任何一个服从正态分布N(,2)的随机变量x，都可以通过标准化变换u=(x-)将其变换为服从标准正态分布的随机变量uu称为标准正态变量或标准正态离差(standardnormaldeviate),.,9,三、正态分布的概率计算设u服从标准正态分布，则u在u1,u2）何内取值的概率为：(u2)(u1)而(u1)与(u2)可由附表1查得。,.,10,标准正态分布,正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表1，便能很方便地计算有关概率：P(0uu1)(u1)-0.5P(uu1)=(-u1)P(uu1)=2(-u1)P(uu11-2(-u1)P(u1uu2)(u2)-(u1),.,11,计算,已知uN(0，1)，试求：(1)P(u-1.64)?(2)P(u2.58)=?(3)P(u2.56)=?(4)P(0.34u1.53)=?,.,12,计算,查附表1得：(1)P(u-1.64)=0.05050(2)P(u2.58)=(-2.58)=0.024940(3)P(u2.56)=2(-2.56)=20.005234=0.010468(4)P(0.34u1.53)=(1.53)-(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389,.,13,例3在总体中,随机抽取一个容量为36的样本,求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.,解,故,例3,.,14,关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：P（-1u1）=0.6826P（-2u2）=0.9545P（-3u3）=0.9973P（-1.96u1.96）=0.95P(-2.58u2.58)=0.99,.,15,计算,u变量在上述区间以外取值的概率分别为：P(u1)=2(-1)=1-P(-1u1)=1-0.6826=0.3174P(u2)=2(-2)=1-P（-2u2）=1-0.9545=0.0455P(u3)=1-0.9973=0.0027P(u1.96)=1-0.95=0.05P(u2.58)=1-0.99=0.01,.,16,由表42可见，实际频率与理论概率相当接近，说明126头基础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推断基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的,.,17,双侧概率和单侧概率,随机变量x落在平均数加减不同倍数标准差区间之外的概率称为双侧概率(两尾概率)，记作。对应于双侧概率可以求得随机变量x小于-k或大于+k的概率，称为单侧概率(一尾概率),记作/2。例如，x落在(-1.96,+1.96)之外的双侧概率为0.05，而单侧概率为0.025。P(x+1.96)=0.025,.,18,x落在(-2.58,+2.58)之外的双侧概率为0.01，而单侧概率P(x+2.58)=0.005,.,19,第二节,卡方分布Chi-squareDistribution,.,20,定义,如果随机变量zi(i=1,.,n)为相互独立，都服从标准正态分布，则定义：,i=1,.,n变量2服从自由度等于n卡方分布（chisquaredistribution）。,.,21,卡方分布曲线,图4-1不同自由度下的2分布,图4-22分布的上侧和下侧分位数示意图,.,22,卡方分布特征,卡方分布于区间0，+)，并且呈反J形的偏斜分布。卡方分布的偏斜度随自由度的降低而增大，当自由度等于1时，曲线以纵轴为渐近线。随自由度的增大，卡方分丰曲线渐趋左右对称，当df30时，卡方分布已接近正态分布。,.,23,第三节,t分布,.,24,定义,如果zN(0,1),2服从自由度等于n的卡方分布,则为自由度为n的t分布t分布的形状与正态分布相似,.,25,t分布,不同自由度下的t分布,t分布双侧分位数示意图,.,26,t分布密度曲线特点,t分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条t分布密度曲线。t分布密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称，且在t0时，分布密度函数取得最大值。与标准正态分布曲线相比，t分布曲线顶部略低，两尾部稍高而平。df越小这种趋势越明显。df越大，t分布越趋近于标准正态分布。当n30时，t分布与标准正态分布的区别很小；n100时，t分布基本与标准正态分布相同；n时，t分布与标准正态分布完全一致。,.,27,第四节,F分布,.,28,定义,.,29,F分布图(2,6)(6,10)(10,20),.,30,F分布有以下特征,F分布的平均数等于1，取值区间为0，+)。F分布曲线的形状仅决定于df1和df2。当df1=1或2时，F分布曲线呈严重倾斜的反向J形，当df13时，转为左偏曲线。,.,31,第五节,样本平均数的抽样分布,.,32,定义,样本变异性(samplingvariability)：简单随机样本平均数间存在差别。或抽样误差(samplingerror)样本分布(samplingdistribution)：指样本的概率分布。,.,33,样本平均数的分布,从N个总体中随机抽取样本含量为n的样本，共抽m次，求样本平均数的分布(sampledistributionforthemean)。计算每个样本的平均数列出每次抽样的平均数，并列出每个平均数的频率,直观观察,.,34,例题1,一个骰子掷两次算一次抽样，求所有样本的样本平均数和方差,.,35,例题2,.,36,.,37,定理,情况1.如果总体服从正态分布，平均数为，方差为2，样本含量为n，则样本为：正态分布平均数等于方差等于2/n，SQRT（2/n）称为平均数的标准差(standarderrorofthemean),或简称标准误,.,38,定理,情况2：当总本不是服从正态分布，平均数为，方差为2，样本含量为n，则样本为：近似服从正态分布，随样本越大，近似越好。与总体分布的形