《1.2回归分析》课件1.ppt

1.2回归分析,(一)线性回归直线方程的求法,例1研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间是关系，测得一组数据如下：,水深x/m,流速Y/(ms),(1)求Y对x的回归直线方程；(2)预测水深为1.95m时水的流速是多少？,分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据在平面直角坐标系中，得到平面上8个点.由图可以看出，x与Y之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个回归直线方程来反映这种关系，这些是我们在必修3中学过的知识.,用什么方法求？,最小二乘法:,利用最小二乘法可以得到的计算公式为,进一步观察这8个点，容易发现，它们并不是“严格地”在一条直线上.对于某个xi，由上式能确定一个,一般地说，由于测量流速可能存在误差，或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归方程本身就不够精确，与测得的数据yi很可能不相等，,即(i=1，2，8)，其中是随机误差项.于是就有(i=1，2，,，8)，这就是本题的线性模型.,从上述线性模型出法，我们可以求出a与回归系数b的估计值，使得全部误差的平方和达到最小，当然，这是一种很好的估计，最后得到的求的数学公式为,线性回归方程中，的意义是：以为基数，x每增加1个单位，y相应地平均增加个单位,例1研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间是关系，测得一组数据如下：,(1)求Y对x的回归直线方程；(2)预测水深为1.95m时水的流速是多少？,水深x/m,流速Y/(ms),解：(1)由上面的分析，可采用列表的方法计算a与回归系数b，,Y对于x的回归直线方程为,把x=1.95代入，易得计算结果表明，当水深为1.95m时可以预测渠水的流速约为2.12m/s.,(二)线性回归相关关系的检验,例2为了了解某地母亲身高x与女儿身高Y的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：,试对x与Y进行一元线性回归分析，并预测当母亲身高为161cm时女儿的身高为多少？,分析：把这10对数据画出散点图如图所示：,可以看出x与Y之间有近似地线性关系关系.散点图能帮助我们寻找线性关系关系，既直观又方便.只需一张坐标纸，把已知的成对数据标在直角坐标系中便可得到散点图.即使没有坐标纸，改用普通白纸也可以.,因为我们并不要求把点标得十分准确，只要能看出这些点大致分布在某条直线附近就可以了.麻烦在于有时很难说这些点是不是分布在某条直线附近，如下图中的两个散点图，都很难下判断，右边那个图散布的那些点更像在一条曲线附近.,此外，假如不考虑散点图，按照例1给出的计算a与回归系数b的公式，我们可以根据一组成对的数据，求出一个回归直线方程.但它能不能反映这组成对数据的变化规律？如不能，这又有多少实际意义呢？,为了解决上述问题，我们有必要对x与Y作线性相关检验，简称相关性检验.,对于变量x与Y随机抽到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，检验统计量是样本相关系数,r具有以下性质：|r|1，并且|r|越接近1.线性相关程度越强，|r|越接近0，线性相关程度越弱.,检验的步骤如下：,(1)作统计假设：x与Y不具有线性相关关系；(2)根据小概率0.05与n2在附表中查出r的一个临界值r0.05；(3)根据样本相关系数计算公式求出r的值；(4)作统计推断，如果|r|r0.05，表明有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系.如果|r|r0.05，我们没有理由拒绝原来的假设.这时寻找回归直线方程是毫无意义的.,解：由以上分析，先对x与Y作相关性检验.,(1)作统计假设：x与Y不具有线性相关关系；(2)由小概率0.05与n2=8在附表中查得r0.05=0.632；(3),所以,(4)|r|=0.710.632，即|r|r0.05，所以有95%的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，去求回归直线方程是有意义的.,回归系数,所以Y对x的回归直线方程是,回归系数0.78反映出当母亲身高每增加1cm时女儿身高平均增加0.78cm.可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.,当x=161时，也就是说当母亲的身高为161cm时女儿的身高大致也接近161cm.,例3.某市居民19962003年货币收入x与购买商品支出Y的统计资料如下表所示：,试对x与Y的关系进行相关性检验，如x与Y具有线性相关关系，求出Y对x的回归直线方程(结果保留3个有效数字).,单位：亿元,解：(1)画出散点图(单位：亿元),(2)作统计假设：x与Y不具有线性相关关系.,(3)由小概率事件0.05与n2=6在附表中查得r0.05=0.707,(4)使用计算器或计算机进行计算得|r|=0.9090.707，即|r|r0.05.,从而有95%的把握认为x与Y具有线性相关关系.,(5)算出线性回归方程中的a和b得a=0.851，b=0.812.,从而线性回归方程为,例4.某种书每册的成本费Y(元)与印刷册书x(千册)有关，经统计得到数据如下：,检验每册书的成本费Y与印刷册书的倒数之间是否具有线性相关关系，如有，求出Y对x的回归方程.,分析：本例与前三个例子不同，是非线性回归分析问题.由于题目已给出了所要求的曲线类型，只要通过已知的10对样本数据，把a与b确定下来，就找到了描述x与Y相关关系的一条函数曲线.在此我们特别指出，确定性关系(如公式、函数关系等)和相关关系之间并没有一条不可逾越的鸿沟.由于有试验误差、测量误差等存在，变量之间的确定性关系往往通过研究相关关系表现出来.反过来，在有些问题中，可以通过研究相关关系来深入了解变量变化的内在规律，从而找到它们的确定性关系.,解：首先作变量置换，得到,然后做线性相关检验作统计假设：u与Y不具有线性相关关系.2.由小概率事件0.05与n2=8在附表中查得r0.05=0.6323.使用计算机进行计算.,(4)|r|=0.9980.632，即|r|y0.05，从而有95%的把握认为u与Y之间具有线性相关关系.求Y对于u的回归直线方程有意义.,(5)计算可得,把u换回原来的变量，即u=,得到,这就是Y对于x的回归方程.,例5以下是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据：,(1)画出数据的散点图；(2)用最小二乘估计求回归直线方程，并在散点图上加上回归直线；(3)此回归直线有意义吗？,解：(1)数据的散点图见右图,(2)=109，,回归直线方程为=1.81660.1962x,(3)y与x的相关系数,查表，n2=3时，临界值r0.05=0.878，由rr0.05知，变量y与x之间具有线性相关关系，回归直线是有意义的,练习题,1设有一个回归方程为=21.5x，则变量x增加一个单位时()(A)y平均增加1.5单位(B)y平均增加2单位(C)y平均减少1.5单位(D)y平均减少2单位,C,2回归直线方程=abx必定过点(),(A)(0，0)(B)(，0)(C)(0，)(D)(，),D,3回归直线方程的系数a，b的最小二乘估计,A,使函数Q(a，b)最小，Q函数指()(A)(B)(C)(D),4下列说法中正确的是()A任何两个变量都具有相关关系B人的知识与其年龄具有相关关系C散点图中的各点是分散的没有规律D根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的,B,5若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是=2x1250，若用水量