两个随机变量的函数的分布

第五节两个随机变量的函数的分布,Z=X+Y的分布Z=YX及Z=XY的分布M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布课堂练习,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?,例1若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2,一、的分布,解依题意,例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为,于是,i=0,1,2,j=0,1,2,的泊松分布.,r=0,1,即Z服从参数为的泊松分布.,例3设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度.,这里积分区域D=(x,y):x+yz,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线x+y=z及其左下方的半平面.,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.,特别地，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域,例4若X和Y独立,具有共同的概率密度,求Z=X+Y的概率密度.,解由卷积公式,也即,暂时固定,故,当或时,当时,当时,于是,例5若X和Y是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布N(0,1),求Z=X+Y的概率密度.,解由卷积公式,令,得,可见Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.即,更一般地,可以证明:,若相互独立，则,二、Z=YX,Z=XY的分布,设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则Z=YX的密度函数为,当X,Y独立时,解,例6,三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,1.M=max(X,Y)的分布函数,即有FM(z)=FX(z)FY(z),即有FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于X和Y相互独立,于是得到N=min(X,Y)的分布函数为:,设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例7设系统L由两个相互独立的子系统连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统损坏时,系统开始工作),如下图所示.设的寿命分别为已知它们的概率密度分别为,其中且试分别就以上三种连接方式写出的寿命的概率密度.,解,(i)串联的情况,由于当系统中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以此时L的寿命为,因为X的概率密度为,所以X的分布函数为,当x0时,当x0时,故,类似地,可求得Y的分布函数为,于是的分布函数为,=1-1-FX(z)1-FY(z),的概率密度为,(ii)并联的情况,由于当且仅当系统都损坏时,系统L才停止工作,所以此时L的寿命为,故的分布函数为,于是的概率密度为,(iii)备用的情况,因此整个系统L的寿命为,由于当系统损坏时,系统才开始工作,当z0时,当z0时,当且仅当,即时,上述积分的被积函数不等于零.,故,于是的概率密度为,解,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,三、课堂练习,设是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布.试验证随机变量具有概率密度,1,设随机变量,且满足PX1X2=0=1，求（1）(X1,X2)的联合概率分布；（2）PX1X2；（3）PX1=X2。,2.设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为,而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).,3.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为,已知随机事件与相互独立，则有（B）(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4,4.设随机变量X与Y独立分布,且X的概率分布为,记,求(U,V)的概率分布;,解易知U,V的可能取值均为:1,2.且,5.设X1,X2独立同分布，且X1的分布律为,X11234,P0.10.20.30.4,Y=ma