立体几何——点线面的位置关系

点、线、面的位置关系(1)四条公理公理1:如果直线上的两点在一个平面上，那么直线在这个平面上。符号语言：公理2:只有一个平面通过三个不在一条直线上的点。三个推论：只有一个平面穿过一条直线，一个点在直线之外(2)只有一个平面穿过两条相交的直线(3)通过两条平行的直线，只有一个平面它为确定一个平面提供了依据。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有并且只有一条穿过该点的公共直线(两个平面的交点)。符号语言：公理4:(平行线的传递性)两条平行于同一条线的线是相互平行的。符号语言：(2)直线和直线在空间中的位置关系1.非平面直线和夹角的概念：两条不在一个平面上的直线称为非平面直线。假设两条不同平面的直线作为直线穿过空间中的任何一点，我们把两条不同平面的直线形成的角度(或直角)称为不同平面的直线形成的夹角。(易于了解：角度范围)公理4:(平行线的传递性)两条平行于同一条线的线是相互平行的。符号语言：定理：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角是相等或互补的。(注意：将绘制具有两个互补角的图形)2.位置关系：(3)空间中直线与平面的位置关系直线和平面之间有三种位置关系：(4)空间平面之间的位置关系平面之间有两种类型的位置关系：测试点1:点、线、面之间的位置关系例1。(2014辽宁，4，5分)众所周知，m，n代表两条不同的直线，代表一个平面。以下陈述是正确的()A.if m，n，mNb。如果m ，n ，m nc如果m ，m n，则nd如果m，m n，则n 回答 1。B决议 1。A的选项M和N也可以相交或有不同的平面，选项C也可以有n ，选项D也可以有N或N和斜交。根据直线和平面的垂直性质，选择B。例2。(山东省青岛市高级中学第一次模拟考试，2014，5)如果，是两条不同的直线，又是两个不同的平面，那么下面的命题是正确的()A.if b. ifC.如果d .如果是回答 2。D决议 2。选项不正确，因为它是可能的；选项B不正确，因为，当，是可能的；选项C是不正确的，因为有时可能有；D选项是正确的，并且可以通过垂直面的判断定理证明是正确的。因此，选择d。例3。(2014年广西桂林高中二月考试，4)集，是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列命题是正确的()(一)(二)(三)(四)回答 3。D决议 3。如果平面是垂直的、相交的或平行的，那么(a)是错误的；如果是这样，直线相交或平行或不在平面上，那么(b)是错误的；如果是这样，直线垂直于平面或与平面相交或平行，那么(c)是错误的；如果是，它是一条直线，所以(d)是正确的。选择d。例4。(2014年第四届周宁、郑和、第一中学联考，7)设置代表不同直线和不同平面，并给出以下四个命题：(1)如果,然后；(2)if , and。然后；(3)如果，则；(4)如果和,那么。正确命题的数量是()a1 b . 2 c . 3d . 4回答 4。B决议 4。正确；(2)直线或误差；(3)错误，因为立方体有三条边，它们的公共端点相互垂直；(4)正确。因此，真正的是(1)和(4)，总共是2。2.空间几何的平行关系转换关系：线与平面平行度的判定及其性质定理定理内容符号表示分析和解决问题的常用方法线和平面平行度的测定如果平面外的直线平行于平面内的直线，那么直线平行于平面。如果发现一条直线平行于已知平面中的已知直线，则可以确定该直线平行于该平面。将“空间问题”转化为“平面问题”平面和平面平行度的测定如果一个平面中的两条相交线平行于另一个平面，则这两个平面是平行的。判断的关键：找出两条相交的线在一个已知的平面上与另一个平面平行。将“平面平行问题”转化为“线-面平行问题”线和平面平行性质如果一条直线平行于一个平面，则穿过该直线的任何平面与该平面的交点都平行于该直线。平面和平面平行性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线是平行的。1.证明直线平行的方法：(平行线的传递性)两条平行于同一条线的线彼此平行。公理4证明这两条直线的方向是共线的。如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线是平行的。也就是说，表面的平行性质。2.证明直线和平面相互平行的方法证明这个平面上的直线和直线相互平行；证明了这条直线的方向和这个平面上的一个向量是平行的。证明了这条直线的方向和这个平面的法向量是相互垂直的。3.证明两个平面平行的方法：(1)根据定义证明。使用反证法，假设两个平面不平行，它们必须相交，然后得出矛盾。(2)判断定理：如果一个平面上两条相交的直线平行于另一个平面，则这两个平面是平行的。这个定理可以简单地写成平行线和平面，平行平面和平面。用符号表示：ab，a ，b ，a ，b ，然后是 。(3)垂直于同一直线的两个平面是平行的。用符号表示： ， 表示。(4)平行于同一平面的两个平面是平行的。4.两个平面有五个平行属性：(1)两个平面平行，一个平面上的任何直线必须平行于另一个平面。这个定理可以简单地写成：“如果平面平行，直线和平面也是平行的”。用符号表示：，然后a。(2)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线是平行的。这个定理可以简单地写成：“如果平面平行，那么直线也是平行的”。用符号表示： ， =a， =b，然后a b。(3)直线垂直于两个平行平面之一，也垂直于另一个平面。这个定理可以用来证明线的表面是垂直的。由符号表示：， ， 。(4)夹在两个平行平面之间的平行线是相等的(5)在平面以外的一点上，只有一个平面平行于已知平面3.空间几何的垂直关系1.这条线是垂直的判断垂直线的方法：形成的角度为直角，两条直线垂直；垂直于一条平行线必须垂直于另一条。三条垂直线的定理：一个平面上的直线垂直于对角线，如果它垂直于这个平面的投影。三条垂直线定理的逆定理：如果一个平面上的直线垂直于这个平面上的对角线，那么它也垂直于这条对角线的投影。推理模式：注：三条垂直线是指中的直线A，其中、和都是垂直的。其实质是：平面中斜线和直线的判定和性质定理。应考虑A的位置，两个定理应交替使用。2.垂直线和表面(1)定义：如果直线L与平面相交，并且垂直于平面中的任何直线，我们说直线L和平面相互垂直，其中直线L称为平面的垂直线，平面称为直线L的垂直面，直线和平面的交点称为垂直面。垂直于平面的直线l表示为l.(2)直线垂直于平面的判断定理：如果一个平面上的一条直线和两条相交的直线都是垂直的，那么这条直线垂直于这个平面。(3)直线垂直于平面的性质定理：如果两条直线垂直于一个平面，那么两条直线是平行的。3.表面是垂直的(1)两个垂直平面的定义：(3)两个平面垂直的性质定理：(平面垂直于平面)。如果两个平面互相垂直，那么在一个平面中垂直于它们的交线的线垂直于另一个平面。测试点2:证明线和面之间的平行度和垂直度例1。如图所示，四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD， DPC=30， PC在点f，Fe CD，PD在点e。(1)证明：CF平面adf决议 1。(1)证明： PD 平面ABCD,PDAD、还有cd ad，pd cd=d，AD平面PCD,ADPC， pc， ad=a， Pc 飞机ADF，即CF飞机ADF。例2。(2011江苏，16，14点)如图所示，在金字塔P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，ab=AD，bad=60，e，f分别是AP和ad的中点。验证：(一)直的EF平面印刷电路板；bef飞机停机坪。回答(1)在PAD中，因为E和F分别是AP和AD的中点，所以EFPD。也因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD。连接商业发展局。因为AB=AD，BAD=60，ABD是一个正三角形。因为f是AD的中点，BFAD.因为PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BF平面pad。因为BF平面BEF，平面BEF平面PAD。例3。(江苏，2009，16，14点)如图所示，在直三棱镜ABC-A1B1C1中，e和f分别是A1B和A1C的中点，点d在B1C1上，A1D在 B1C上。验证：(一)英制平面作业；a1fd飞机BB1C1C。回答 3。(I)因为e和f分别是A1B和A1C的中点，EF BC，EF平面ABC，BC平面ABC。所以英孚飞机中航。(ii)由于直三棱镜ABC-A1B1C1，bb1 面A1B1C1，BB1A1D面A1D 面B1C，所以a1d 面bb1c，a1d面A1FD，所以平面a1fd 面bb1c。例4。(2008江苏，16，14点)如图所示，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点e和f分别是AB和BD的中点。验证：(一)直的EF平面；efc飞机BCD。回答 4。(I)在ABD中，因为e和f分别是AB和BD的中点，所以efAD也是ad平面ACD，EF平面ACD，所以直线EF平面ACD。(二)在ABD，因为ad BD，ef ad，EFBD.在BCD中，因为CD=CB，f是BD的中点，CFBD.因为EF平面EFC，CF平面EFC，ef和CF相交于点f，BD平面EFC。因为BD平面BCD，E