分形理论在城市研究中的应用.ppt

分形理论在城市研究中的应用,主讲人:刘丁,分形理论简介,严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。让我们来看旁边的一个图例。右下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。,科赫曲线,科赫曲线(Koch)便是以初等数学方法构造的一类处处不可导的连续曲线。其构造过程如右图:取长度为1的直线段,称为初始元,将该线段的中间1/3用一个隆起的等边三角形的另两边替代,得到一条由四个等长直线段构成的折线,称为生成元。再将生成元的四个直线段中的每一个,都用一个缩小为1/3的生成元来替代,从而形成一条有次级隆起的折线。继续这一操作,以至无穷,得到科赫曲线。显然,每条线的“内部”结构与整体相似(曼德布罗特,1998)。将一个等边三角形的每条边按上述过程构造,便得到首尾相连的科赫雪花曲线。可以证明,由雪花曲线围成的面积小于该等边三角形外接圆的面积,且趋于一个极限值,而围成这个有限面积的边界曲线却是无限长。这明显不同于以往的周长与面积概念,这是一个吊诡现象。,谢尔宾斯基地毯,谢尔宾斯基地毯(),初始元是一个三角形,生成元是镂空的三角形,相继如图操作,最终该地毯的面积为0,孔的周界长度无限。,Mandelbrot集,除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。,分形的特点,1分形具有精细的结构,即有任意小尺度的不规则的细节;2分形具有如此的不规则,以致于它的局部或整体都不能用微积分的或传统的几何语言来描述;3通常分形具有某种自相似或自仿射性质,这可以是统计意义上的;4分形的“分形维数”(用某种方式定义的)通常严格大于它的拓扑维数;5在许多有趣的情况下,分形具有非常简单的、可能是由迭代给出的定义;6通常分形具有“自然”的外貌。,分形的维数-相似性维数,相似维数先让我们看一个简单的事实。根据相似性,如图1把各图形的边长2等分,当然,线段是一半长度的2个线段,正方形则是每边为原来1/2的4个正方形,而立方体则是8个。也就是说,线段、正方形、立方体可被看成为分别由2、4、8个把全体分成1/2的相似形组成。2、4、8数字还可以写成21、22、23,显然这里的指数与其图形的经验维数相一致。推而广之,若某图形是由把全体缩小成1/的个相似形所组成,由于=,则有:=n/n。此便是几何图形的维数,由于它是通过相似变换得来的,所以此维数一般称为相似维数。用表示。显然不必一定是整数,所有经典分形集的维数都可由此式计算,曲线=3,=4,=n4/n3=1.2618。虽然相似维数是把经验维数扩大为非整数值的划时代的量,但它的适用范围毕竟是有限的。因为只有严格相似性规则的分数维图形,才能定义为这个维数,而实际上,大多数分形图形都不是严格自相似的,如某些随机图形,为此有必要定义新的维数。,为此,先引入相似性维数(similaritydimension),在欧氏空间中,考虑一个维的几何对象,把每个方向的尺寸缩小1/倍,就会得到个与原来相似的几何对象,则对数比=ln/ln(1/)称为相似性维数。将此定义用以考察线段、正方形、立方体,并把每个方向的尺寸缩小1/2,则得=1、2、3,可知,相似性维数与整数维是一致的,而对于Koch曲线,缩小1/3得到4个相似形,=ln4/ln3=1.2618。可见,相似性维数还可扩大到非整数维的领域,但是该定义只适用于严格自相似的集合,当描述分形的维数不只一个,而是出现多个常数,则称之为多标度分形或多重分形。为分形维数引入一个完整的定义也不容易,早期的有豪斯道夫维数,不过其计算是复杂又困难。,分形的维数-盒子维数,盒维数(boxdimension),也称为熵维数、容量维数、信息维数,是一个有广泛应用的维数(法尔科内,1990)。假设是一个平面上的有界分形图形,用边长的盒子所构成的正方形网格(每个格子即一个盒子)来覆盖,与相交的盒子数有个,若满足幂律关系:对数比=()/(1/),定义为分形的盒维数。对于三维欧氏空间的图形,则用小立方体或小球来覆盖。,测定分形维数的方法,测定分形维数的常见方法有五种类型:改变观察尺度求维数,根据测度关系求维数,根据相关函数求维数,根据分布函数求维数,根据波谱求维数。在原理上这五种方法可归并为两大类。其中,归为第一类,即改变尺度求维数;归为第二类,依据测度关系,改变规模求维数.,改变尺度求维,考虑像海岸线一类的曲线,则可采用圆规维数的定义。如图,以曲线的一端为起点用直线连接,若交点不止一个,则选取与起点最接近的交点。再把交点看作新的起点,反复同样的操作,直至曲线的终端,得到一条折线,它覆盖曲线的直线段总个数记作(),其总长度为()=(),改变半径的尺度大小,重复测量(),(),其对数形式即ln()=(-),则定义为圆规维数,然后以此为中心,画一个半径为的圆。把此圆与曲线的交点和起点其中为比例常数。在平面坐标系上,画出(r)与r的对数散点分布图,用线性回归拟合,则拟合直线的斜率即是所求的维数D,截矩为比例系数。若将()换成(),同理可求。,对于研究空间的点分布,以及大量分岔的河流网或道路网,可采用盒维数定义。如图,取不同的尺度,划分网格,得相应的盒子数(),由()与的双对数关系线性拟合求维数。从广义上来说,将盒子退化为区间线段,则盒维数的定义可包含圆规维数,因此这类方法称为广义盒计数法。此外,从原理上讲,分布函数也是利用尺度变化来求维数,其中城市位序规模的Zipf法则就用到此方法,从而证明城市位序规模分布是非几何学的分形分布。,改变规模求维数,这个方法是根据分形集合具有非整数维的测度关系来计算的。考虑一个具有分形海岸线且几何相似的岛屿群的集合,显然,其周长随测量尺度的减小而呈幂指数增加,所围的面积收敛于一个有限的值。然而,这个方法不是改变尺度,而是选取一个固定长度的码尺,测量一组规模不同的相似岛屿。岛屿的周长和面积分别记为L.A,显然码尺是充分小的,曼德布罗特推导出这两者的测度关系Li=C1-A/2=CA/2D是海岸线边界的维数,C,C均为比例常数。这就是分形研究中通常所说的周长面积关系,测出一组不同规模的岛屿的周长和面积,便可求维数。,考虑一类形态上与增长或衰退有关的集结现象,如右图,可以按同一尺度来构造或测量这类现象,其规模以某种规则的方式变化。对于这类自相似分形,可应用集结维数,亦称为质量维数的定义式:其中是集结维数,0为某一固定的测量尺度,通常选取最小尺度;选取适当的原点,如集结的中心点,为半径,代表规模变化,为比例常数,()为半径内所测量的总个数,或总质量,因为以同一尺度测量,每一个部分的质量是相同的,所以()可以解释为质量,则称为质量维数。由于0是固定的,则()=。不同的半径对应有不同的(),于是可求维数。,对于城市网络系统,将网络的长度分布看成质量分布便可求其维数。实际上,城市形态在空间的生长聚集也类似集结现象。以()表示所占用的场地数量(与人口数成比例),半径表示自的距离,取该形态所在平面的圆面积为(),则由()与的数量关系求维数,同时由密度关系亦可求维数。这类方法常称为半径法。由于利用相关函数求维数时,相关函数与半径成标度关系,因此可将其归入半径法。总之,改变尺度法(其规模是固定的)和改变规模法(其尺度是固定的),是从不同侧面测量维数的两类方法,当它们用来分析同一研究对象时,所测定的维数是等价的。当然,因研究对象的复杂性具体计算时会有数值差异。,分形理论在城市研究中的应用,分形城市概念分形的基本特征是自相似性，亦即没有尺度(scale-free)或者特征规模(characteristicsize)。分形城市源于基于分形思想的城市形态与结构的模拟与实证研究。1991年，巴迪发表作为分形的城市：模拟生长与形态一文，标志着分形城市概念的萌芽。1994年巴迪、隆利出版了题为分形城市：形态与功能的几何学的研究专著；同年，弗兰克豪泽发表了专题著作城市结构的分形性质“分形城市”正式成为自组织城市,领域的一个专门术语。分形城市最初主要是研究城市形态和结构，但是，随着研究领域的扩展，逐渐向内细化到城市建筑，向外拓展了区域城市体系。因此，目前的分形城市概念可以分为如下三个层次：,（）微观层次，即城市建筑分形。在这个层次上，分形城市概念与建筑学的有关领域不可分割。年，美国马里兰大学建筑学院的波威尔（Bovill）出版了建筑和设计中的分形几何学一书。虽然该书以建筑学为主要视角，但也涉及城市形态等城市地理问题毕竟建筑是城市地理系统的构成要素，分形城市规划必然无法回避建筑科学。正是在这种意义上，巴迪、隆利的分形城市一书也曾讨论建筑物的分形形态.2001年前后，英国曼彻斯特大学建筑学院的克朗普顿（Cromptom）甚至提出，分形在城市细部无所不在：大到一个公园如海德（Hyde）公园，小到家居环境，都具有某种程度的自相似性。,（）中观层次，即城市形态分形。这是本讨论的中心层次，因为这个层次与城市规划的关系最为密切。关于城市形态的分形，加拿大科学家凯叶（Kaye）在其分维漫步一书中进行了如下描述：当我们走进某个城市扇形区的时候，我们可以看到居住用地、工商业用地、开放空间和空闲地等用地类型。但是，每一种用地都不是纯粹的一类用地，当我们走进以工商业用地为主的街区，大致相当于我们的街道的时候，我们还可以看到住宅用地、工商业用地、开放空间和空闲地。进一步讲，从街区走进以开放空间为主的邻里，从邻里走进以空闲地为主的场所时，看到的依然是上述各种用地类型的组合。相同的城市用地结构（住宅工商业开放空间空闲地等）在扇形区、街区、邻里和场所等不同的层次上重现自己，这就是自相似的基本思想。,（）宏观层次，即分形城市体系。分形城市体系包括空间结构和等级结构两方面的内容，前者以中心地的分形研究为标志，后者以位序规模分布研究为核心。1985年，阿林豪斯发现中心地体系的织构（texture）分形，笔者则先后揭示了中心地的结构（structure）分形例如中心地的体系可以变化科赫（Koch）雪花模型，在此基础上可以将确定型分形中心地模型推广到随机分形领域。由于空间网络与等级体系是一个问题的两个方面，中心地分形网络与城市体系的位序规模分布具有内在的逻辑关系。中心地和位序规模分布是分形城市体系最具代表性的研究领域，它们共同构成了人文地理系统空间复杂性的两个数理标志。,分形城市首先是生态城市，分形规划要求城市必须留取足够的绿地、空地和开放空间。因为分形城市要求城市形态的维数必须是分维的：在二维空间考察，城市的维数应该在之间；在三维空间考察，城市的维数应该在之间。城市规划一般在二维空间考察城市，城市设计在三维空间考察城市，因此，规划意义的分维都是变化于之间的。一旦城市的失去了它的绿地、空地和开放空间，城市形态必然上升到二维，这时的城市形态退化为平庸的欧式几何形态，城市内部的环境、生态、交通、住宅等问题必将形成难以救药的复杂症候群。,城市分形维数退化的不良后果,当代中国城市的一个突出弊端是“见缝插针”式地建设。由于各种复杂的因素，城市绿地、空地和开放空间被蚕食鲸吞，导致城市形态迅速退化至欧式几何形态。城市分形退化的不良后果主要表现在：（）城市生态条件恶化。一个城市一旦远离绿色生机，剩下的只是一堆钢筋混凝土合成的病态躯壳。因此在城市规划中有必要强调“第二风景”和“第三风景”的位置和重要意义。（）城市改造困难重重。一个城市没有空地和开放空间，就意味着没有建筑拆除与重建的缓冲地带。虽然眼前看来城市土地资源的利用十分充分，但对未来的城市土地功能置换和要素更新留下了难以消除的隐患。（）城市减灾、防灾难度加大。由于没有空地和开放空间，一旦发生地震，人群无法疏散；倘若疫病传播，又难以将病毒隔离、消灭。城市中的人群聚散通常形成复杂的无标度网络，疫病一旦传来就会相当快速而且很难根除。如果城市形态退化为欧式几何结构，则之类的疫病在这种网络中可能会导致巨大的灾难。,为了避免上述问题，城市总体形态的维数就不能太高。当城市形态的维数达到1.9以后，距离d=2的欧式维数就不远了。研究表明，北京城市形态的分维在1981年就高达D=1.93，是世界上少有的高分维城市。如果进一步退化，则北京就会成为典型的欧式几何形态。目前的现实情况则是：北京的城市建筑显得非常拥塞，到了交通高峰时期，连两边人行道上都爬满了小汽车！如果没有立交桥，北京的市内交通根本无法想象，有了立交桥又大大地破坏了城市景观。,那么城市形态的分维数取什么数值为好呢？根据英国科学家巴迪等的模拟分析，城市形态的分维在D=1.7附近比较理想，理论上的维数则为1.7010.025。实际上,1.7是一个“期望值”，现实中城市