02 凸多边形内角和定理2015寒假 初二数学自招进度一班教师

第二讲 凸多边形内角和定理1. 多边形概念由同一平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫多边形由n条线段组成的多边形称为n边形组成多边形的每一条线段叫做多边形的边相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点多边形的各顶点通常用大写的英文字母表示如下左图，五边形的顶点依次分别是A、B、C、D、E，记作五边形ABCDE多边形相邻两边所成的角叫做多边形的内角在上左图中、都是五边形ABCDE的内角联结多边形两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线如上右图中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线n边形的对角线条数：2. 凸多边形、凹多边形对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形（如下左图）；否则叫做凹多边形（如下右图）我们本章节只研究讨论凸多边形 3. 多边形内角和多边形内角和定理：n边形的内角和等于4. 多边形外角和多边形的一个内角的邻补角叫做多边形的外角多边形的外角中，与同一个内角相邻的外角有两个，这两个角互为对顶角，它们的大小相等对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和多边形外角和等于，与边数无关【例题1】 填空题：（1） 一百边形的内角和比九十边形的内角和大_1800_度（2） 如果一个多边形的内角和是1440，那么它的边数是_10_（3） 如果一个多边形的内角和与它的外角和加起来，所得的和为2160，那么它是_12_边形（4） 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么它是_6_边形（5） 如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加，那么这个多边形的边数是_12_【例题2】 选择题：（1）一个多边形的内角和不可能是（ D ）A、1800B、540C、720D、810（2）一个四边形的四个内角中，钝角最多有（ C ）A、1个B、2个C、3个D、4个（3）如果多边形的边数由3逐渐增加到n时（n是正整数），求这个多边形的外角和的度数（ C ）A、在逐渐增加B、在逐渐减少C、没有变化D、增、减情况不确定（4）已知下列命题：多边形中至少有一个角不是钝角；多边形的外角中至少有一个是锐角；多边形的边数每增加1，内角和的度数就增加180；如果把一个多边形的边数增加，那么所有外角的平均值将减小其中真命题的个数是（ D ）A、1个B、2个C、3个D、4个【例题3】 一个八边形，截去一个角后所得的多边形的内角和是多少？ 解：【例题4】 设n边形的内角和是，则是n的什么函数？解： 是一次函数【例题5】 已知，如图，求B的大小解：，ADCE，因为五边形ABCED的内角和为，【例题6】 （1）已知一个多边形的每一个内角为140，求这个多边形的边数（2）已知一个多边形的内角和与外角和的度数之比为，求这个多边形的边数解：（1）设这个多边形的边数为n由题意，得方程，解得所以，这个多边形的边数为9（2）设这个多边形的边数为n由题意，得方程，即，解得所以，这个多边形的边数为11【例题7】 已知一个多边形最小的一个内角为120，比它稍大的一个内角为125，以后依次每个内角比前一个内角多5，且所有内角和与最大内角的度数之比为，求这个多边形的边数解：设这个多边形的边数为 则，解得【例题8】 已知一个多边形的内角和是外角和的n倍（n是正整数），求这个多边形的边数解：设多边形的边数为，多边形的外角和恒为360度，解得【例题9】 已知一个多边形的所有内角从小到大的排列，恰好依次增加相同的角度，设最小的角为100，最大的角为140，求这个多边形的边数解：设这个多边形的边数是 则，解得【例题10】 过多边形的一个顶点有8条对角线，问这个多边形共有几条对角线？解：因为过一个顶点有8条对角线，所以这是个10边形则对角线有条【例题11】 （1）已知多边形的各个内角大小相等，且它的每个内角与每个外角的度数之比是，求这个多边形的边数n（2）一个多边形中，最多有几个锐角？解：（1）方法一：由题意，得方程，解得方法二：设多边形的每一个外角的度数为x，由题意，得方程，解得因为，所以（2）因为n边形外角和为360，所以多边形外角中钝角的个数不能超过3个，否则外角和大于360由此知n边形的n个内角中至多有3个锐角【说明】三角形最多有3个锐角，所以有人认为多边形的边数越多，内角和越大，锐角的个数越少；也有不少人认为多边形边数越多，内角越多，锐角的个数也越多这两种想法都没有找准解决问题的切入点，因此都是错误的如果从多边形外角和是360入手思考，那么就容易得出正确的结论【例题12】 一个多边形除一个内角外，其余内角之和为1680，求这个多边形的边数及被去掉的这个内角的度数【分析】本例显然不能直接应用多边形内角和公式求出解来，如果注意到本例中有如下隐含的条件：多边形的边数n为正整数，且；多边形的内个内角均大于0，且小于180；n边形的内角和为，且为180的整数倍这样，就不难从两个方面入手求解：一是利用多边形内角和是180的整数倍来求其解（方法一）；二是可先设多边形的边数，利用不等式求解（方法二）解：方法一：设这个多边形的边数是n，去掉的内角的度数为x由题意，得，即，解得因为n为整数，所以必为180的倍数又，故，所以，这个多边形边数为12，去掉的内角为120方法二：设这个多边形的边数是n，则有解得又n为整数，故去掉的一个内角为所以，这个多边形为12边形，去掉的内角为120【例题13】 已知如图，线段a、b、c、d，求作：四边形ABCD，使，【作法】如图（2）：（）作DAB，使，；（）分别以点B（D）为圆心，以b（c）为半径作弧，两弧交于点C；（）联结BC、DC四边形ABCD即为所求【例题14】 各个角都相等、各条边也相等的多边形叫做正多边形解下列有关正多边形的问题：（1） 已知正多边形的一个外角为72，求这个正多边形的边数；（2） 已知正n边形的一个内角等于150，求n；（3） 已知正n边形的每个内角与外角之差为90，求这个正n边形的边数；（4） 有两个正多边形边数之比为，内角度数之比为，求它们的边数解：（1）；（2）；（3）；（4）设边数分别为，则，边数为10和5【例题15】 已知两个多边形的内角和1800，且这两个多边形的边数均为偶数，求这两个多边形的边数解：设两个多边形的边数为，则， 解得【例题16】 小丁同学在计算一个多边形内角和时，求得这个多边形的内角和为1125，当他发现算错了之后，重新检查，原来他少加了一个内角他少加的这个内角度数是多少？他所求的是几边形的内角和？解：设少加的这个内角度数是，边数是则，解得【例题17】 如图所示的花环图案中，六边形ABCDEF和六边形都是正六边形，求证：证明： 即【例题18】 如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、CE交于点F，求AED和AFE的度数解：【例题19】 如图所示，在五边形ABCDE中，延长CD、AE交于点F，且，（1） 求F的度数；（2） AB与CD之间是否存在某种关系，并证明你的结论解：（1） （2）同旁内角互补，两直线平行【例题20】 如图，求的度数解：连AD ，【例题21】 如图，求的度数解：连BE【例题22】 如图，已知，求的度数解：【例题23】 如图，已知，求解： 1. 如图，求的度数解：A+B=1，C+D=2，E+2=3，F+G=4，A+B+C+D+E+F+G=1+3+4，三角形的内角和等于180，1+3+4=180，A+B+C+D+E+F+G=1802. 如图，求的度数解： 1. 如图所示，4个居民区，位于四边形ABCD的4个顶点现要开设一个送水站，问送水站设在何处，才能使它到4个居民区的距离和最小，并说明理由【分析】如图，如果在四边形ABCD内任选一点P作为送水站，AC、BD是四边形的对角线，设它们的交点为H，由三角形的任何两边之和大于第三边，可知，