03函数图像变换教师版初一竞赛进度一

1 第第 03 讲讲 函数图像变换函数图像变换 【知识点【知识点】 平移变换： （1）左右平移变换（左加右减） 把函数 y=f(x)的图像向左平移a个单位，得到的新图像解析式为(x a)yf；向右平移a个单位， 得到的新图像解析式为(x a)yf0a. （2）上下平移变换（上加下减） 把函数 yf x的图像向上平移a个单位， 得到的新图像解析式为(x)ayf； 向下平移a个单位， 得到的新图像解析式为(x)ayf0a. 对称变换： （1）函数 yf x的图像关于 x 轴对称的新图像解析式为 yf x ； （2）函数 yf x的图像关于 y 轴对称的新图像解析式为yfx； （3）函数 yf x的图像关于原点对称的新图像解析式为yfx . 翻折变换： （1）左右翻折变换 把函数 yf x的图像 y 轴左侧图像去掉右侧图像保留，再作其关于 y 轴的对称图像，得到的新图 像解析式为 yfx； （2）上下翻折变换 把函数 yf x的图像x轴上方图像保留，下方图像翻折到x轴上方去，得到的新图像解析式为 yf x 【例题精讲】 【平移变换】 【例题1】填空 （1）将抛物线 2 4 1 xy先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得_。 答案：2) 3( 4 1 2 xy 2 （ 2 ） 将 抛 物 线218 2 xxy向 左 平 移 3 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 5 个 单 位 ， 表 达 式 为 _。 答案：37)4(218 22 xxxy，所以结果为32) 1( 2 xy。 【例题2】二次函数cbxxy 2 的图像向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，就得到二次函数 12 2 xxy的图像，求 b 与 c 的值。 解： 22 ) 1(12xxxy 抛物线12 2 xxy的顶点)0 , 1 (B 根据题意，把此抛物线向下平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位，就得到抛物线cbxxy 2 ，这 时 顶 点)0 , 1 (B平 移 到)2, 4( A处 ， 即 抛 物 线cbxxy 2 的 顶 点 是 )2, 4( 1482)4( 222 xxxcbxxy14, 8cb 【例题3】若把函数 yf x的图像作平移变换，可以使图像上的点1,0P变换成点 2,2P，则平移 后所得图像的函数解析式是（ ） （A）12yf x （B）12yf x （C）12yf x （D）12yf x 答案：使图像上的点1,0P变换成点 2,2P，需要 P 点先向右移 1 个单位，再向上移两个单位（顺 序可调换） ，根据平移变换的原则知，选 B. 【对称变换】 【例题4】若点），（mP2在抛物线 2 xy 上， 求点 P 分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的点的坐标。 分析：求得4m，即点 P(-2,4)，根据对称变换特征知，点 P 分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的 点的坐标分别为：)4, 2(),4 , 2(),4, 2(。 注：通过本题讲清楚对称变换的实质是：图像的对称最终归结为图像上的点的对称。 【扩展】抛物线 2 xy 分别关于x轴、y轴及坐标原点对称后的函数解析式分别为： 2 xy； 22 )(xxy； 22 )(xyxy即. 【例题5】求下列函数分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的函数解析式。 （1） 1 2 x y （2）142 2 xxy 提示：教师可通过作图帮助学生理解。 3 分析： （1） 1 2 x y分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的函数解析式为 xx y 1 2 1 2 ； 1 2 1 2 xx y； 1 2 1 2 x y x y即。 （2）1) 1(2142 22 xxxy分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的函数解析式为： 1) 1(2 1) 1(2 22 xxy； 1) 1(21) 1(2 22 xxy；1) 1(21) 1(2 22 xyxy即。 【例题6】如图是函数2 4 1 2 xy和3 4 1 2 xy在同一坐标系下的图像，请分别说明，这两个函数图 像与函数 2 4 1 xy 图像的关系，并说明如何由函数2 4 1 2 xy的图像得到函数3 4 1 2 xy的图像。 分析：（1） 由题意知， 函数2 4 1 2 xy图像向上平移 2 个单位可得到函数 2 4 1 xy 的图像或函数 2 4 1 xy 图像向下平移 2 个单位可得到函数2 4 1 2 xy的图像；函数 2 4 1 xy 图像先关于x轴作对称变换得到 2 4 1 xy的图像， 再将该图像向上平移 3 个单位即得函数3 4 1 2 xy的图像或函数3 4 1 2 xy图 像先向下平移3个单位得到 2 4 1 xy的图像， 再将该图像关于x轴作对称变换得到函数 2 4 1 xy 的图像。 （2）由函数2 4 1 2 xy的图像得到函数3 4 1 2 xy的图像变换过程如下： 2 4 1 2 xy 2 4 1 xy 2 4 1 xy 3 4 1 2 xy 理由如（1）所述 4 【翻折变换】 【例题7】分别在下列范围内求函数22 2 xxy的最值，并写出其对应的自变量的值。 （1）x为全体实数 （2）30 x （3）21x 解：1) 1(22 22 xxxy顶点坐标为) 1 , 1 (， 或1) 1(22 2 2 xxxy作出函数图像如右图实线部分。 （1）由图可知当1x时，1 最小值 y；无最大值。 （2）1x在30 x范围内，且01a， 当1x时，y有最小值 为1 最小值 y； 当3x时，y有最大值为52632 值最 大 y （3）由图可知在21x上， 当1x时，1 最小值 y； 当20xx或时，2 最大值 y 【例题8】（1）将函数2 5 1 2 xy图像x轴上方图像保留，下方图像翻折到x轴上方，求得到的图像的 解析式。 （2） 将函数2 5 1 2 xy图像x轴下方图像保留， 上方图像翻折到x轴下方， 求得到的图像的解析式。 （3）说明经过（1）与（2）变换后所得到的两个新图像之间的关系？ 解： （1）2 5 1 2 xy （2）2 5 1 2 xy （3）经过（1）与（2）图像变换后所得到的新图像关于x轴对称。 5 【例题9】已知函数 yfx的图像如图所示，根据图像变换的性质，请在坐标系下作出函数 1yf x的图像。保留作图痕迹并写出作法。 解：作图方法：先将函数 yf x的图像向左平移 1 个单位得到) 1( xfy的图像；再将函数 ) 1( xfy的x轴上方的图像保留，下方图像翻折到上方，得到的图像即为所求。 所以图中实线部分即为所求作的函数1yf x的图像。 提示：本题还有一个方法即根据原函数 yf x图像特征求得其解 析式为 1) 1( 4 1 )( 2 xxfy。再经过平移、翻折变换得到的函数解析 式为 1 4 1 ) 1( 2 xxfy，再做出该函数图像。但两种方法都运用 了平移、翻折变换时图像的变换性质。 【综合运用】 【例题10】函数1xay与)0( a x a y在同一坐标系中的图像可能是下图中的（ ） （A） （B ） （C） （D） 分析：本题考查了平移、对称、翻折等三种变换。由题意知，本题先要确定 a 的正负， 若0a，则两函数图像近似于函数1 xy与 x y 1 的图像位置关系，图中没有这种情况，则由此可 知本题中0a。若令1a，分析可知，正确答案为 C. 6 【例题11】已知二次函数cxaxy5 2 的图像如下图所示 （1）求这个二次函数的表达式和它的图像的顶点坐标； （2）观察图像，回答：当x在什么范围时 y 的值随 x 值的增大而增大；当x在什么范围时 y 的值随 x 值 的增大而减小？ （3）如果将图中抛物线向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，试确定所得到的抛物线的表达式； （4）设（3）中抛物线与 x 轴交于点 A、B，试在 x 轴下方的抛物线上确定一点 P，使PAB的面积最大。 面积最大，须 P 点到 x 轴距离最大，此时 P 点只能是此抛物线的顶点了。即 P 点坐标为) 4 25 , 2 1 (，此 时PAB 的面积为 8 125 4 25 5 2 1 S个平方单位。 点评：本题综合利用了二次函数的图像与性质，解这类题的关键在于识图，能从图形中挖掘出有价值的信 息。 7 【例题12】如图，在平面直角坐标系中，两个函数6 2 1 xyxy，的图像交于点 A。动点 P 从点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动，作 PQx轴交直线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN，设它与OAB重叠部分的面积为 S。 （1）求点 A 的坐标； （2）试求出点 P 在线段 OA 上运动时，S 与运动时间t（秒）的关系式； （3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t为何值时，S 有最 大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。 由题意知，当正方形 PQMN 的一边 MN 位于x轴下方时, )230(26 2 3 ) 2 23 12( 2 2 2 tttttS 当正方形 PQMN 的一边 MN 刚好落在x轴上或位于x轴上方时，该正方形与OAB重叠部分恰好就是 正方形 PQMN 本身。则 )2423()12 2 23 () 2 23 12( 222 tttPQS 所以 )2423( ,)12 2 23 ( )230( ,26 2 3 2 2 tt ttt S （3）当正方形 PQMN 的一边 MN 位于x轴下方时， )230(12)22( 2 3 26 2 3 22 ttttS，所以当22t时，12 最大值 S。 当正方形 PQMN 的一边 MN 刚好落在x轴上时面积最大，此时 PQ 长度等于 Q 点纵坐标，即 tt 2 2 2 23 12，解得23t，此时9) 3() 2 2 ( 22 tS最大值。 比较以上两种情况中所求得的最值，可知当22t时，12 最大值 S。 8 【课后作业】 1. 抛物线 2 2xy 可由抛物线4) 1(2 2 xy_得到。 答案：先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位。 2. 二次函数 2 5xy的图像与 2 5xy 的图像有什么关系？他们是轴对称图形吗？他们的开口方向、 对 称轴和顶点坐标分别是什么? 二