初二竞赛进阶进度一八佰伴05正方形 教师

1 / 9 第五讲 正方形 1. 【正方形的定义】 一组邻边相等的矩形叫做正方形 2. 【正方形的性质】 四个角都是直角，四条边都相等 两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 具有平行四边形、菱形、矩形的性质 3. 【正方形的判定】 一组邻边相等的矩形 有一个直角的菱形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2 / 9 【例题1】 矩形的长 8cm，宽是 4cm，和它面积相等的正方形的对角线的长是 _ （8cm） 【例题2】 如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD 中 ， E 是 正 方 形 内 一 点 ， ABE 是 正 三 角 形 ， 则 DEC=_ （150） 【例题3】 如图， 在正方形 ABCD 中， AF 平分DAC， EFAC， AD=6， 则 DF=_ （6 26） 【例题4】 如图，正方形 ABCD 边长为 1，P 为 AD 边上任一点，PEAC，PFBD，则 PE+PF 的长 度为_ （ 2 2 ） 【例题5】 如图，在正方形 ABCD 中， E、F 分别在 BC、CD 上，AHEF， 且 AH=BC. 则 EAF=_ （45） 【例题6】 如图，正方形 ABCD 的边长是 5，点 P 在 DB 的延长线上，且BCP=15 ，求 PC 的长. 解：联结AC，交BD于E 0 3 0 , 252 PA CB D P CE CA C 【例题7】 如图，ABCD 是边长为 1 的正方形，EFGH 是内接于 ABCD 的正方形，AE=a，AF=b，若 2 3 EFGH S，求ba的值 答案： 3 3 H AB CD E F F E D CB A E D CB A F G BC AD E H A B C D P E P C B D A 3 / 9 【例题8】 已知正方形 ABCD 中，边长为 12cm，E、P、F 三点分别在 AB.BC.CD 上，且 APEF，BP=5cm，求 EF 的长 【例题9】 如图， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC、 BD 相交于点 O， P 是 OB 上任意一点，DQAP， 垂足是点 Q，交 AC 于点 R （1）求证：AOPDOR； （2）若点 P 在 OB 上运动（不与 O、B 重合） ，试猜想 DP 与 CR 的数量关系，并证明你的结论. 【例题10】 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 AD 上一点， 且 1 4 AFAD，求证：EFEC 证明：勾股定理 【例题11】 如图，边长为 6 的正方形 ABCD 内部有一点 P，460BPPBC，点 Q 为正方 形边上一动点，且PBQ 是等腰三角形，则符合条件的点 Q 有 5 个 R O Q C D B A P 4 / 9 【例题12】 已知：如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为 BC、CD 上的点，且45EAF. 求证：EFBEDF 证明：如图，延长 CD 至点 G，使DGBE 联结 AG，则ADGABE 因此GADEAB 于是45GAFEABDAFEAF AFGAFE 则EFGFGDDFBEDF 【例题13】 若以直角三角形 ABC 的边 AB 为边，在三角形 ABC 的外部作正方形 ABDE， AF 是 BC 边的高，延长 FA 使 AG=BC 求证：BG=CD 证明：AFBC ABC=CAF DBC=90 +ABC=90 +CAF=BCG 又BD=AB BC=AG DBCBAG BG=CD 【例题14】 已知：如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，过点 E 作 AE 的垂线分 别交 CD、AB 的延长线于点 F、G 求证：BEBGCF 证：作/GHBC，使GH交DC延长线于H 则,GHFH BGHC为矩形 B GC H BGCFCHCFFH 00 1290 ,2390 13 且 0 ,90GHBCABABEGHF 3 2 1 HC E BC F DA 5 / 9 ABEGHF，BEFH 又FHBGCF BEBGC F 【例题15】 已知，如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 的中点，F 是边 CD 上的一点，AE 平分BAF 求证：AFBCCF 证明：如图，过点 E 作EGAF于点 G，联结 EF 因为四边形 ABCD 为正方形，所以90BC ,90EGAFEGFAGEB 又AE平分BAF，BAEGAF 又,AEAEABEAGE 从而,ABAG BEEG，,BCABBCAG 因为点 E 是 BC 的中点，,BEECEGEC 又,ttEFEFREFGREFC 从而CFGF，AFAGGFBCCF 6 / 9 【作业1】 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 AD 的中点，BMEC 于点 M，则 BM 的长为 _ （ 8 5 5 ） 【作业2】 把正方形 ABCD 绕着点 A， 按顺时针方向旋转得到正方形 AEFG， 边 FG 与 BC 交于点 H， 试问线段 HG 与线段 HB 相等吗？请先观察，猜想，然后再证明你的猜想. E M DC D A 7 / 9 【作业3】 如图，在正方形 ABCD 中，等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上 （1）求证：CE=CF； （2）若等边三角形AEF 的边长为2，求正方形ABCD 的周长 8 / 9 【例题1】 如图，正方形 ABCD，E、F、G、H 依次是各边上的点，且 EGFH 求证： EGFH 证：作/BMEG，使BM交CD于M 作/CNFH，使CN交AD于N 显然,BM EG CN FH B MC N 00 90 ,90CBMBCNDCNBCN CBMDCN 且,BCMCDN BCCD BCM,CDNBMCN，则EGFH 【例题2】 如图，过正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点 P，做 PEBC 于点 E，作 PF CD 于点 F， 联结 AP、EF 求证：APEF 且 APEF 证：延长FP与AB交于G点，延长AP与EF 交于M点 ,P FC DP GA B，同理PEBE 且 0 90GBE GB E P为矩形，且BEP为等腰Rt BEEP GB E P为正方形，GPPE 又GBCF为矩形，,GFBCABGFGPABBG 即,AGPEAGP(),FPE SASAPFE 00 1218090GPE ，且由全等知，1PEF F E D CB A G H E N H D G M C FB A C M E B P G F D A 9 / 9 0 29 0PEF ，即,PMEF APEF 【例题3】 如图，正方形 ABCD 中，AB=8，Q 是 CD 的中点，在 CD 上取一点 P，使 2BAPDAQ ， 求 CP 的长 解：作BAP的平分线AE，交BC于E 作EHAP于H，连EP，设CPx 则 1 2 BAEBAPDAQ 且,ABAD