初二竞赛进阶进度一八佰伴15锐角三角比2

1 / 7 第十五讲 锐角三角比（2） 1. 直角三角形中锐角的邻边与对边直角三角形中锐角的邻边与对边分别为分别为锐角锐角 的相邻的直角边的相邻的直角边与与锐角锐角 的的所对直角边所对直角边。 2. 锐角锐角 的三角比：的三角比：锐角锐角 的正弦的正弦 斜边斜边 对边对边 ， 如图如图 c a AB BC A sin； 锐角锐角 的余弦的余弦 斜边斜边 邻边邻边 ， 如图如图 c b AB AC A cos； 锐角锐角 的正切的正切 邻边邻边 对边对边 ， 如图如图 b a AC BC A tan； 锐角锐角 的余切的余切 对边对边 邻边邻边 ， 如图如图 a b BC AC A cot 【常用公式】【常用公式】 互余关系：互余关系：;sin)90cos(,cos)90sin(AAAA 互补关系：互补关系：;cos)180cos(,sin)180sin(AAAA 平方关系：平方关系：; 1cossin 22 AA 倒数关系：倒数关系：. 1cottan 邻边邻边 对边对边 斜边斜边 对边对边 邻边邻边 斜边斜边 b c a A C B 2 / 7 【常用特殊角的正余弦值】【常用特殊角的正余弦值】 【例题1】 填空题： 1. 已知为锐角，如果 3 1 cos，那么sin= 2 2 3 ，tan=2 2，cot= 2 4 2. 当锐角= 0 45时，cossin 3. 已知 sin35cos 0 ，则锐角=55 度 4. 如图，10| ,60 0 OP，则 P 点的坐标为(5,5 3) 5. 22 )sincos()cossin(baba= 22 ab 【例题2】 已知sin 是方程 2 3720 xx的解，求tan 答案： 1 sin 3 或 2（舍去） ， 2 tan 4 【例题3】 已知（1）),900( 5 3 sin求cos ,cot； （2） 3 tan(090 ) 4 ，求sin， sin3cos2 sin5cos4 。 角角 三角比三角比 30 45 60 sin 1 2 2 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tan 3 3 1 3 cot 3 1 3 3 3 / 7 【例题4】 （1）已知为锐角，且cos3sin，求cossin； （2）tan cot2AA ，求 22 tancotAA_。 【例题5】 计算并化简： （1） 22 )sincos2()cossin2(； （2）120sin20cos20sin2170sin2 （3） 89sin88sin2sin1sin 2222 ； （4） 2 1 tan tancot 4 / 7 【例题6】 m为何值时，方程012)53()15( 2 xmxm的两根分别是一直角两锐角的正 弦。 【特殊的锐角三角比】 【例题7】 计算： （1） 22 2cos 302sin 60cos45 （2） 222 1 cos 45cos 30sin 451 cos60 （3） 2 2tan30cot452sin 602tan45 （4） 2 (1sin40 )(1cos50 )tan60tan30cos 40 解： （1） 2 2 ； （2） 1 4 ； （3） 2 31 32 ； （4）1 【例题8】 在8 4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若ABC 的三个顶点在图中相应的 格点上，则 tanACB 的值为_，sinACB 的值为_ 解：由图形知： 21 tan 63 ACB， 210 sin 102 10 ACB 【例题9】 在 RTABC 中，已知C=90，CDAB 于 D. （1）如果 CD=h， A=， 试用 h 和的三角比表示 AD、BD、AC、BC 的长； （2）如果 AC=2 5，BC=5， 求 CD 的长. 解：BCDA tantan, tan CDh AAD AD ，Rt BCD中，tantan BD BCD CD h D C BA 5 / 7 tan, sincos hh BDhACBC ； 解一：由（1） 22 sin,cos,sincos1,2 2 55 hhh h AC 解二：5,AB 由2AC BCAB CDCD 【例题10】 平行四边形 ABCD 周长为 48cm， 0 60A，ABBC=35，求其两邻边上的高 解：:3:5AB BC ，且48ABBCCOAD，9,15ABBC 作BEAD于E，BFCD于F 39 sinsin93 22 BE ABEABA AB ， 15 sin3 2 BFBCC 【例题11】 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3， BC=6， AC 为对角线，DEAC 与 E 点 求 cotADE 和 sinCDE 的值 解： 00 1 90 , 21 90ADE 2 2, cot 2 AB ADEADE BC 4CDE ， 3 s i ns i n4 3 AB CDE AC 【例题12】 已知：如图，在ABCRt中， 90C，3 AC点D为BC边上一点， 且ADBD2 ， 60ADC求ABC的周长（结果保留根号） 解： 90C， 60ADC 30tanACCD1 AD 2222 1( 3)2ACCD 42 ADBD 72 22 BCACAB ABC的周长3725 BCACAB 【例题13】 已知：ABC中， 0 90C， 0 30A，求 0 15tan的值 （讲两种解法） 解法 1：如图， 0 30 ,AAD 平分BAC， ABBD ACCD （角平分线定理）由 0 30 ,:ABC AC AB 1: 3:2， 600 D E A F C B E D CB A 4 3 2 1 E CB D A C D B A 6 / 7 2 , 3 BDAB CDAC 设2 ,3BDk CDk(23) ,3(3 2 3)BCk ACBCk 0 31 tan15tan23 (32 3)23 CDk DAC ACk ， 解法 2：延长 CA 到 E，使 AE=AB，联结 BE 【例题14】 已知x的二次方程0tansin4 2 xx（为锐角）有两个相等实根，求 sincos的值 证：可以证明 sin tan cos 由题意0 ， 2 16sin4tan0 22 sin 4sintan04sin0 cos 11 sin0,4sin0sincos cos4 222 13 (sincos)sincos2sincos1 22 6 sin0,cos0sincos 2 ， 【例题15】 已知为锐角，满足2cossin，求 cos 1 sin 1 的值 解：sincos2， 22 sincos2sincos2， 1 sincos 2 原式 sincos 2 2 sincos 7 / 7 1. 求下列各式的值： （1） sin30 tan60 sin60cos45 ；（2） 2 (2sin601)tan602； （3） 2 tan 302cot601cos301；（4）12sin30 cos30； （5） 2222 sin 40sin 50cos 60cot 45 答案：（1）2；（2）2 33 ；（3） 1 3 6 ；（4） 31 2 ；（5） 7 4 2. 已知正切和公式 tanta