数学人教版九年级上册垂径定理.ppt

24.1圆的有关性质（第2课时）,九年级上册,本课是在学生已经学习了圆的有关概念的基础上开始研究圆的性质，包括圆的轴对称性以及垂径定理，并应用垂径定理及其推论解决问题,课件说明,学习目标：1理解圆的轴对称性2使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题。3.掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。过程与方法：利用圆是轴对称图形，独立探究垂径定理及其推论。通过观察、比较、操作，推理、归纳等活动，发展空间观念，推理能力及概括问题的能力。情感目标：培养学生积极探索数学问题态度及方法。重点：垂径定理及其推论。难点：垂径定理及其推论的证明与简单应用，有关的添加辅助线的方法。,教学目标,2、什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形?,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形,1、圆的定义及相关概念,弦、直径、弧、半圆等,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,互动课堂(探究与合作),探究点1：圆的对称性,1.动手做一做：请同学们用圆规在纸上画一O任做一条直径CD将O沿直径CD对折，你能发现什么呢？,6,2.通过上面的探究，你能得出结论：,圆是图形，任何一条直径所在的_都是它的对称轴，圆有条对称轴.,轴对称,直线,无数,想一想：给你一个圆纸片，如何找到它的圆心呢？,3.(用折叠法)在前面所画的圆上找两个点A、B，使A、B两点关于CD所在的直线对称，AB与CD的交点为E点4.观察你所画的图形，找找图中相等的线段和弧,7,AE=BE,探究点2：垂径定理,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.,注意：垂径定理中的直径也可以是半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”.,11,垂径定理里包含了五个内容：,过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,新知强化,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,图1,图2,图3,图4,探究点3垂径定理的推论,结论改为：垂直于弦，平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧.这个命题正确吗？,.垂径定理的条件和结论分别是什么？,条件：,结论：,平分弦，平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧.,过圆心，垂直于弦.,思考：若条件改为：,过圆心，平分弦.,14,如图，在O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），AB、CD交于点E，且AE=BE，在O中，连接OA、OB，则OAB是三角形，AE=BE，CDAB，即CD是垂直于弦的直径，,等腰,15,质疑：如果上图中的AB是直径，上述结论成立么？,不一定成立，如图所示，当AB是直径时，CD平分AB，但CD不垂直于AB，结论不成立.,通过上面的证明，你能得出结论：,垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的两条弧.,垂直,平分,垂径定理的推论中的弦一定要为，否则命题就不一定成立.,非直径,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论,巩固训练,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,O,E,B,A,将圆的有关问题转化为解直角三角形的问题,如图,已知在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径.,练一练：,如图,已知在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径.,利用新知问题回解,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高,解：,AB=37.4，CD=7.2，,OD=OCCD=R7.2,解得R27.9（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m,OA2=AD2+OD2,如图，已知在两同心圆O中，大圆弦AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系？,利用新知解决问题,O,A,B,C,D,E,过O作OEAB于E，则,AE=BE，CE=DE,AECE=BEDE,AC=BD,实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.,如图，已知在两同心圆O中，大圆弦AB交小圆于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系？解：AC=BD,如图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC=BD还成立吗？,问题延伸,内容：1、圆是轴对称图形2、垂径定理及其推论3、相关计算构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线重要思路：（由）垂径定理构造直角三角形（结合）勾股定理建立方程,归纳小结,26,课外活动探究,垂径定理中包含的五个内容：过圆心垂直于弦平分弦（弦不是直径）平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧通过本节课的学习我们知道如果一条直线满足，满足，那么上述五个条件中的是不是满足其中任何两个条件就可以推出其他三个结论呢？请同学们课后想一想，证一证。,课后练习,A,O,B,D,E,C,P,解：过点O作OECD于点P，连接COBP=1