1.2直角三角形性质和判定(2)——勾股定理

直角三角形,第1章,直角三角形的性质和判定（）,1.2,如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.,A,B,C,a=3,b=4,c=?,量得c=5.,图1-9,在方格纸上，以类似图1-9中的RtABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10-1，并填表.,为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积.,145,图1-10-2,S2,S1,S3,91625,S1,S2,S3,观察表格,三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的数量关系呢？,S1,S1+S2=S3.,92534,在图1-10中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？,图1-10,S2,S1,S3,A,C,B,如图1-11，任作一个RtABC，C=90，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？,a,c,b,步骤先剪出4个如图1-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中ba），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.,步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.,步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.,思考：如何说明拼出的图形是正方形？,图1-13,直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2,勾股定理的证法历史上有很多,比较著名的有毕达哥拉斯证法,有趣的总统证法(美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法),希望有兴趣的同学课下查找资料.,其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.,图1-14,勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长.,例1如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，ADBC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？,举例,解：在ABC中，AB=AC=13，BC=10，ADBC，,在RtADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2,故AD的长为12cm.,在RtABC中，C=90.（1）已知a=25，b=15，求c；,（2）已知a=5，c=9，求b；,（3）已知b=5，c=15，求a.,如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？,动脑筋,图1-16,由图1-16抽象出示意图1-17.在RtABC中，计算出AB；再在RtABC中，计算出AB，则可得出梯子往上移动的距离为（AB-AB）m.,分析,A,在RtABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，,在RtABC中，AC=4m，BC=1m，故,因此AA=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.,A,例1（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长为多少？,举例,分析,根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B.,宋刻九章算术书影,解：在如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB=(x+1)尺.,因为正方形池塘边长为10尺，所以BC=5尺.在RtACB中，由勾股定理，得x2+52=(x+1)2解得x=12则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长13尺.,1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？,D,解：过点C作CDAB，垂足为D，,依题意，CBD=60，CAD=30，,由于CD长大于10海里，所以轮船由西向东航行没有触礁危险.,D,CAD=ACB=30，AB=BC=（海里），,在RtCBD中，BCD=30，,2.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60.求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.,E,A,B,C,D,F,E,A,B,C,D,F,解：过点D作DFAE，垂足为F，,依题意BCD=60,AB=DF=8m,AF=BD=6m,FE=6m.,在RtDEF中，由勾股定理,得,在RtDBC中,CDB=30,设BC=x,DC=2x，由勾股定理得,x2+62=(2x)2解得x=,据周髀算经记载，西周开国时期（约公元前1000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。如果勾是3，股是4，那么弦是5，这就是商高发现的“勾股定理”.因此在中国，勾股定理又被称作“商高定理”，在西方国家，勾股定理又“Pythagoras(毕达哥拉斯)定理”.但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类杰出的贡献.,1955年的希腊邮票,“赵爽弦图”为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标.,西班牙教材中的勾股定理，他们称之为“毕达哥拉斯定理”.,香港教材中的勾股定理仍然沿用着西方的名称毕氏定理.,如图，等腰ABC中,AB=AC,AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,AD=_cm.,4,解：AB=AC=5cm，BC=6cm，ADBC，,在RtADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2,故AD的长为4cm.,例2,如图，RtABC中，C=90，AD平