第02讲概率论与数理统计第一章.ppt

概率论与数理统计,第一章随机事件与概率,教材：高自考指定教材概率论与数理统计（二）孙宏祥、柳金甫编辽宁大学出版社,点数问题：如何分配？,两个赌徒相约赌若干局，谁先赢n局就算赢。现在一个人赢了a（a0，则,条件概率的定义,例1.11一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,解：设A：从盒中随机取到一只红球，B：从盒中随机取到一只新球。,A,B,条件概率的性质,设B是一事件，且P(A)0，则对任意事件B,0P(B|A)1;P(|A)=1;3.设B1,B2,是两两互不相容事件，则,而且，前面对于概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率。比如加法公式。,条件概率的计算,1.用定义计算:,2.从加入条件后改变了的情况去算,A发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中B所含样本点个数,条件概率P(B|A)与P(B)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设B是随机试验的一个事件，则P(B)是在该试验条件下事件B发生的可能性大小。而条件概率P(B|A)是在原条件下又添加“A发生”这个条件时B发生的可能性大小，即P(B|A)仍是概率。P(B)与P(B|A)的区别在于两者发生的条件不同，它们是两个不同的概念，在数值上一般也不同。,设A、B是随机事件，P(A)0，则P(AB)P(B|A)P(A)称为事件A、B的乘法公式。,二、乘法公式,乘法公式还有一种对称形式：若P(B)0，则P(AB)P(A|B)P(B)。,利用乘法公式可计算几个事件同时发生的概率。,推广：P(ABC)P(C|AB)P(B|A)P(A).P(A1A2An)P(An|A1An1).P(A2|A1)P(A1),例1.12盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次，试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,三、全概率公式和贝叶斯公式,定义事件组A1，A2，An（n可为），称为样本空间S的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1、设A1，,An是样本空间的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,上式就称为全概率公式。,因为B=B=B(A1A2An)=BA1BA2BAn由假设，P(Ai)0，(i1n),且(BAi)(BAj)=F，ij那么,P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BAn)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|An)P(An),证明：,全概率公式的来由,不难由上式看出:“全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和。它的理论和实用意义在于:,在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算。,例1.12验收100件产品的方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并已知这100件产品恰有4件次品。求此批产品能被接收的概率。,解：设A=此批产品被接收，Bi=取出3件产品中恰有i件是次品，i=0,1,2,3。则,因三次测试是相互独立的，故P(A|B0)=0.993，P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。由全概率公式，得,例1.13市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,B,解：设B：买到一件次品,A1：买到一件甲厂的产品，A2：买到一件乙厂的产品，A3：买到一件丙厂的产品，则,我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。,某一事件B的发生有各种可能的原因Ai（i=1,2,n），如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是P(B|Ai)P(Ai)。,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。,解：设A1：从甲袋放入乙袋的是白球；A2：从甲袋放入乙袋的是红球；B：从乙袋中任取一球是红球。,例1.14有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，1个红球，乙袋中有2个红球，1个白球。这6个球手感上不可区别。今从甲袋中任取1球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取1球，问此球是红球的概率？,思考：上例中，若已知由乙袋取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,这是“已知结果求原因”。这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,定理2设A1,An是的一个划分，且P(Ai)0，（i1,n），则对任何事件B，有,上式就称为贝叶斯公式。,该公式于1763年由贝叶斯（Bayes）给出。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。,例1.15根据例1.13所给出的条件，若在市场上买一件该品牌产品是次品，试分析这个次品来自哪个厂的概率更大些。,解：设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。则由全概率公式可知,丙厂,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因。,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为原因的先验概率和后验概率。P(Ai)（i=1,2,n）是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识（一般从积累起来的历史资料里获得）。P(B|Ai)一般可由行业知识获得。当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。,例1.16商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1。某顾客选中一箱,从中任选4只检查,结果都是好的,便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少?,解：设A：从一箱中任取4只检查，结果都是好的。B0,B1,B2分别表示每箱含0,1,2只次品。,已知：P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,例1.17数字通讯过程中,信源发射0、1两种状态信号,其中发0的概率为0.55,发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰,在发0的时候,接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候,接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号,问发端发的是0的概率是多少?,解：设A：发射端发射“0”,B：接收端接收到一个“1”的信号。,0(0.55),01不清,(0.9)(0.05)(0.05),1(0.45),10不清,(0.85)(0.05)(0.1),=0.067,这一小节我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用。值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。可见贝叶斯公式的影响。,1.4独立性,一、两个事件的独立性,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，设A=第一次掷出6点，B=第二次掷出6点,求P(B|A)，P(B)。,这就是说：已知事件A发生，并不影响事件B发生的概率,即P(B|A)=P(B),这时称事件A、B独立。,由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)。,P(AB)=P(A)P(B|A),用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好，它不受P(B)0或P(A)0的制约。,两事件独立定义：,若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B独立,或称A、B相互独立。,两事件相互独立的性质,1.两事件A与B相互独立是相互对称的。若P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条是P(B|A)=P(B)。若P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)=P(A)。若P(A)0,P(B)0,“A与B相互独立”和“A与B互不相容”不能同时成立。,问：能否在样本空间S中找两个事件，它们既相互独立又互斥?,任意事件A与F独立且互斥。,因为，AF=F,P(AF)=P(F)=0=P(A)P(F)，所以,任意事件A与F独立且互斥。,设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,前面我们看到独立与互斥的区别和联系，,1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。,设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：,1.P(B|A)0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。,再来做个小练习。,=P(A)-P(AB),P(A)=P(A-AB),A、B独立,故A与独立。,概率的性质,=P(A)-P(A)P(B),证明:仅证A与独立。,=P(A)1-P(B)=P(A)P(),二、多个事件的独立性,定义若三个事件A、B、C满足：（1）P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：（2）P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。,一般地，设A1,A2,An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意1i1i22)个事件两两独立与事件相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,/,常由实际问题的意义判断事件的独立性。,事件独立性的判断,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立。,例如:甲、乙两人向同一目标射击，记A:甲命中,B:乙命中，A与B是否独立？,又如：一批产品共n件,从中抽取2件,设Ai=第i件是合格品,i=1,2。则A1与A2是否相互独立?,若抽取是有放回的，则A1与A2独立。,因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响。,因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响。,若抽取无放回，则A1与A2不独立。,三、事件独立性的应用,1.利用公式简化独立事件积事件的概率计算。,2.加法公式的简化：若事件A1,A2,An相互独立，则,推导,设事件相互独立，则,P(A1A2An),也就是说：n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。,也相互独立,例1.19设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%，求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率。,解：设这100个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件A，第i个人的血清中含有肝炎病毒为事件Ai，i=1,2,100。,则,设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为，Bn表示n个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则,不能忽视小概率事件，小概率事件迟早要发生。,第一章小结本章由六个概念(随机试验、随机事件、概率、条件概率、独立性)，四个公式(加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式)和一个概型(等可能概型)组成,结绳问题-将n根绳子的2n个头任意两两打结，试求事件A=恰好结成n个圈的概率。,解法1：将2n个头任意排成一排，然后第1、2打结，第3、4打结，因此一种结法相当于2n个头的一个全排列，n()=(2n)!A事件，则每根绳必须首尾相结，即每根绳的两个头必须在(2k-1)和2k位置上，于是n根绳有n！种排法,又各绳头尾又有两种排法所以P(A)=n!2n/(2n)!=1/(2n-1)!,解法2（乘法