2019级高等代数I期中试卷评讲

E? 2019*2020c1(A )Y) !WWWKKKYYY (zzz4?32) 1. ? A = (aij) n(n 3) ?, aij= sin i + (1)icos j (1 i,j n), K |A| =. Y: |A| = 0. )A = sin1 sin 2 (1)2 . . . . . . sin n (1)n 111 coscos 2 cos n := BC. | Cauchy-Binet , ? n 2 , |A| = |Bn2C2n| = 0. 2. ? A B n ?, v |A| = 2, |B| = 1 2, K |(2A) B1 (1 2A) 1B| = . Y(2n 1)n. ): 5? (cA)= cn1A,|cA| = cn|A|, q A _, (cA)1= c1A1(c 6= 0),A= |A|A1,|A1| = |A|1. |(2A)B1 (1 2A) 1B| = |2n1AB1 2A1B| = |2n1|A|A1B1 2A1|B|B1| = |(2n1|A| 2|B|)A1B1| = (2n1|A| 2|B|)n|A|1|B|1 = (2n 1)n. 3. 11 11 2019 =. Y 21009 11 11 1 2 (1 + i)2019+ (1 i)2019i(1 + i)2019+ i(1 i)2019 i(1 + i)2019 i(1 i)2019(1 + i)2019+ (1 i)2019 11(?18) Re(1 + i)2019Im(1 + i)2019 Im(1 + i)2019Re(1 + i)2019 ab ba , a = 1C2 2019+C42019+.+C20162019C20182019, b = C1 2019C32019+ . + C2017 2019 C2019 2019. ): 1: |=?(J: cossin sinsin n = cos(n)sin(n) sin(n)sin(n) 5? 11 11 = 2 cos 4 sin 4 sin 4 sin 4 , K 11 11 n = (2)n cos 4 sin 4 sin 4 sin 4 n = (2)n cos n 4 sin n 4 sin n 4 sin n 4 , “ n = 2019 ?O, ? 11 11 2019 = 21009 11 11 . 2: kOcA, 5: 11 11 2 = 02 20 , 11 11 3 = 22 22 , 11 11 4 = 40 04 = 4I2, 12(?18) 11 11 2019 = 11 11 4504+3 = ? 11 11 4 ?504 11 11 3 = (4)504 22 22 = 21009 11 11 . 3*: 11 11 ?z (p“ 6.2 !): 3? P = ii 11 , ? P1 11 11 P = 1 + i0 01 i , K 11 11 = P 1 + i0 01 i P1, ?1 2019 g, ? 11 11 2019 = ii 11 1 + i0 01 i 2019 ii 11 1 = 1 2 ii 11 (1 + i)20190 0(1 i)2019 i1 i1 = 1 2 (1 + i)2019+ (1 i)2019i(1 + i)2019+ i(1 i)2019 i(1 + i)2019 i(1 i)2019(1 + i)2019+ (1 i)2019 = Re(1 + i)2019Im(1 + i)2019 Im(1 + i)2019Re(1 + i)2019 = ab ba , a = 1C2 2019+C42019+.+C20162019C20182019, b = C1 2019C32019+.+C20172019C20192019. 13(?18) 4. ? A = 101 011 101 v A2 AB = I3, K B =, , tr(BA A2) =. Y B = 1 2 03 2 1 2 0 1 2 3 2 0 1 2 , tr(BA A2) = 3. ) d |A| 6= 0 9 A2 AB = I3, A1, ? A B = A1, K B = A A1. k A1, ? A1= 1 2 0 1 2 1 2 1 1 2 1 2 0 1 2 “?O B = A A1, ?(J. d tr(AB) = tr(BA) 9?,v55, K tr(BA A2) = tr(BA) tr(A2) = tr(AB) tr(A2) = tr(AB A2) = tr? (A2 AB)? = tr(A2 AB) = tr(I3) = 3. 5. ? V v A0= A ?k n ?E?5m, K V ? ?u. Y: n2 n. ): ? A = (aij)nn, aij C. d A0= A, = aji= aij, 1 i j n, K A ? 0, E? A d? aij(1 i j n) (. ? ?k (n 1) + (n 2) + . + 1 = n(n1) 2 , qz? aijkJ , K V m? 2n(n1) 2 = n2 n. 14(?18) 6. ? n ? A v A2= 2A A X?, K r?(An+ In)(A 2In)?U? ?. Y: 1. ): d A2= 2A, K (An+ In)(A 2In) = An(A 2In) + In(A 2In) = An1(A2 2A) + (A 2In) = A 2In, u r?(An+ In)(A 2In)?= r(A 2In). du A2= 2A, K 1 4A 2 = (1 2A) 2 = 1 2A, = 1 2A ?, k r( 1 2A) = n r(In 1 2A). u, r(A 2In) = r? 2(In 1 2A) ? = r(In 1 2A) = n r( 1 2A) = n r(A). dA X?, K A , K, d A2= 2A 9 A , K A = 2In, g. d r(A) n 1. u, r(A 2In) = n r(A) 1. , r(A) ? n1. - A = dig2,2,.,2,0 = (d A v A22A = 0). r(A 2In) ? 1. 7. ? V gL 2 ?X?N?5m, Kl 1,x+1,(x+2)2 ? x,(x + 1)2,(x 2)2 ?L?. Y 118 128 011 . ): ? 1,x + 1,(x + 2)2 ? = ? 1,x,x2 ? 114 014 001 15(?18) ? x,(x + 1)2,(x 2)2 ? = ? 1,x,x2 ? 014 124 011 = ? 1,x + 1,(x + 2)2 ? 114 014 001 1 014 124 011 = ? 1,x + 1,(x + 2)2 ? 118 128 011 . 16(?18) ?!(12) Oe? n ?1?: |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a1+ 1a12+ a1+ 1a1n+ a1+ 1 2a2+ 1a22+ a2+ 1a2n+ a2+ 1 . . . . . . . . . 2an+ 1an2+ an+ 1ann+ an+ 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . )(|,?, ? Vander Monde 1?1O, NN ?) 11?,? (/1 1 0) |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 02a1+ 1a12+ a1+ 1a1n+ a1+ 1 02a2+ 1a22+ a2+ 1a2n+ a2+ 1 . . . . . . . . . . . . 02an+ 1an2+ an+ 1ann+ an+ 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 11 (ai+ 1) ?1 i 1 (i = 2, ,n + 1), ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 a1 1a1a12a1n a2 1a2a22a2n . . . . . . . . . . . . an 1anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1?, ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 a1a1a12a1n a2a2a22a2n . . . . . . . . . . . . ananan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2111 1a1a12a1n 1a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 1anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 11?c?, ? 0. 1?1?1?UY?, ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 1a1a12a1n 1a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 1anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3111 0a1a12a1n 0a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 0anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 17(?18) 11?1?f 1 J?, u 1,a1, ,an? Vander Monde 1?. 1?1?U1?m, 2J?“fz1?f a1,a2, ,an, ?u a1,a2, ,an? Vander Monde 1?. = |A| = (a1 1)(a2 1)(an 1) Y 1ijn (aj ai) + 3a1a2an Y 1ijn (aj ai). ?n? |A| = ?3a 1a2an (a1 1)(a2 1)(an 1) ? Y 1i? 10) |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1000 12a1+ 1a12+ a1+ 1a1n+ a1+ 1 12a2+ 1a22+ a2+ 1a2n+ a2+ 1 . . . . . . . . . . . . 12an+ 1an2+ an+ 1ann+ an+ 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1? 1 ?1 j ? (j = 2, ,n + 1), 211 ai?1 i 1 (i = 2, ,n + 1), d? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 1 + a1a1a12a1n 1 + a2a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 1 + ananan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1?, ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 a1a1a12a1n a2a2a22a2n . . . . . . . . . . . . ananan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2111 1a1a12a1n 1a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 1anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 18(?18) 11?c?, ? 0. 1?1?1?UY?, ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 1a1a12a1n 1a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 1anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3111 0a1a12a1n 0a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 0anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 11?11?f 1 J?, u 1,a1, ,an? Vander Monde 1?. 1?1?U1?m, 2J?“fz1?f a1,a2, ,an, ?u a1,a2, ,an? Vander Monde 1?. = |A| = (a1 1)(a2 1)(an 1) Y 1ijn (aj ai) + 3a1a2an Y 1ijn (aj ai). ?n? |A| = ?3a 1a2an (a1 1)(a2 1)(an 1) ? Y 1ijn (aj ai). 3: 1? 1 ?1 j ? (j = 2, ,n), ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a1+ 1a12 a1a1n a1 2a2+ 1a22 a2a2n a2 . . . . . . . . . 2an+ 1an2 anann an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 1?1,? ( 1 1), ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 02a1+ 1a12 a1a1n a1 02a2+ 1a22 a2a2n a2 . . . . . . . . . . . . 02an+ 1an2 anann an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 11 ai?1 i 1 (i = 2, ,n + 1), ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 a13a1+ 1a12a1n a23a2+ 1a22a2n . . . . . . . . . . . . an3an+ 1an2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 19(?18) 1? 3 ?1 2 ?, ? |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1211 a11a12a1n a21a22a2n . . . . . . . . . . . . an1an2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ?1?1?, 1?1?, |A| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1111 1a1a12a1n 1a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 1anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3111 0a1a12a1n 0a2a22a2n . . . . . . . . . . . . 0anan2ann ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 11?u 1,a1, ,an? Vander Monde 1?. 1?1?U1 ?m, 2J?“fz1?f a1,a2, ,an, ?u a1,a2, ,an? Vander Monde 1?. = |A| = (a1 1)(a2 1)(an 1) Y 1ijn (aj ai) + 3a1a2an Y 1ijn (aj ai). ?n? |A| = ?3a 1a2an (a1 1)(a2 1)(an 1) ? Y 1ijn (aj ai). 110(?18) nnn!(14) ? V ?kn?8. (1) y: V ?5m, V ?|; (2) ? A = 110 011 101 , W = X V | AX = XA. y: W V ?fm, W ?|; (3) V ?fm W0, ? V = W W0. y: (1) ky V ?5m, =?y V v: V : n?, u V . V u?$4: A,B V , k R, k A + B, kA ? , ? A + B V , kA V . 1. V v?: A,B V , k A + B = B + A. 2. V v(: A,B,C V , k (A + B) + C = A + (B + C). 3. V k: A V , 3? 0 V , A + 0 = A. 4. V z?kK: A V , 3 A V , A + (A) = 0. 5. A V , k 1 A = A. 6. A,B V , k R, k k(A + B) = kA + kB. 7. A V , k,l R, k (k + l)A = kA + lA. 8. A V , k,l R, k k(lA) = (kl)A. ? V ?5m. (5: ?/n?8u? ?5m0 , y V Tm?fm, l? 5m.) P Eij1 (i,j) ? 1, ? 0 ?(:)?. | I3= E11+ E22+ E33,E12,E13,E21,E23,E31,E32, N?y5, V ?d 5L, K V ?|? I3= E11+ E22+ E33,E12,E13,E21,E23,E31,E32. (2) y: ky W V ?fm. 5? V ? 0 ? A ?, k 0 W, ? W . q X1,X2 W, k R, k A(X1+ X2) = AX1+ AX1= X1A + X2A = (X1+ X2)A, A(kX1) = k(AX1) = k(X1A) = (kX1)A, 111(?18) K X1+ X2 W, kX1 W. d, W V ?fm. y W ?|. kfm W. 1: ? X = x11x12x13 x21x22x23 x31x32x33 W, “? AX = XA, ) 9 , ? x11= x22= x33, x21= x32= x13, x12= x23= x31. 2: 5? A = 1 I3+ (1) J + 0 J2, p J = 010 001 100 , K W = X V | AX = XA = X V | JX = XJ. ? X = x11x12x13 x21x22x23 x31x32x33 v JX = XJ, ) 9 , ? x11= x22= x33, x21= x32= x13, x12= x23= x31. = X /X abc cab bca , a,b,c R. d, W n?N, ?| I3= E11+ E22+ E33,J := E12+ E23+ E31,J2:= E21+ E32+ E13. (3) du I3,E12,E23,E31,E21,E32,E13 I3,E12,E23,E12+E23+E31,E21,E32,E21+ E32+ E13 V ?|, K V = L(I3,E12,E23,E31,E21,E32,E13) = L(I3,E12,E23,E12+ E23+ E31,E21,E32,E21+ E32+ E13) = L(I3,E12+ E23+ E31,E21+ E32+ E13) L(E12,E23,E21,E32) = W L(E12,E23,E21,E32), ? W0= L(E12,E23,E21,E32), K V = W W0. (5: p W0, W0= L(A1,A2,B1,B2), A16= A2 E12,E23,E31, B16= B2 E21,E32,E13.) 112(?18) ooo!(12) Xe5|, x1,x2,x3?, a,b : ax1+ x2+ x3= 4 x1+ bx2+ x3= 3 x1+ 2bx2+ x3= 4. (1) : ? a,b ?, T|), k), k|)? (2) ?|k|), ). ): (1) |?O2? A Xe?C: A = a114 1b13 12b14 12b14 1b13 a114 12b14 0b01 01 2ab1 a4(1 a) e b = 0, K A ?C 1014 0001 011 a4(1 a) , u r(A) r( A), ?|). e b 6= 0, K A ?C 12b14 010 1 b 01 2ab1 a4(1 a) 1012 010 1 b 001 a 4b2ab1 b , e a = 1, b 6= 1 2, K r(A) x0, ? x0(A + Im)x = 0.(1) =, d A ? x0(A0+ Im)x = x0(A + Im)x = 0.(2) (1) (2) , ? 2x0 x = 0. u x = 0. ? (A + Im)x = 0 k), A + Im. 2. 1: yy C InB0(A+Im)1B . ?E? M = A + ImB B0C In , d A + Im, |? |M| = |A + Im| |C In B0(A + Im)1B|. 5 ? |A + Im| 6= 0, y C In B0(A + Im)1B , Iy |M| 6= 0, = M =. 5| M x y = 0, x Rm,y Rn, =k ( (A + Im)x + By = 0(3) B0 x + (C In)y = 0(4) (3) x0, (4) y0? ( x0(A + Im)x + x0By = 0(5) y0B0 x + y0(C In)y = 0(6) 5? x0By = y0B0 x (). A, C ? x0Ax = 0 = y0Cy. ? (5)(6) ? x0 x+y0y = 0, l? x = 0,y = 0. = M x y = 0 k), l? M . 115(?18) 2: ? M = C + InB0 BA + Im , 1?m (A + Im)1B ?1?, ? (C + In) + B0(A + Im)1BB0 0A + Im , K |M| = |A + Im|(C + In) + B0(A + Im)1B| = (1)n|A + Im|C In B0(A + Im)1B| du |A + Im| , = |A + Im| 6= 0, y C In B0(A + Im)1B , Iy |M| 6= 0 = M =. yy M . 5? M = CB