矩阵的特征值和特征向量.ppt

2020/6/11,1,5.1矩阵的特征值和特征向量,2020/6/11,2,5.1.1特征值和特征向量的基本概念定义设A为数域F上的n阶矩阵,如果存在数lF和非零的n维列向量X,使得AX=lX就称l是矩阵A的特征值,X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量.注意:特征向量X0;特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.,2020/6/11,3,AX=lX,根据定义,n阶矩阵A的特征值,就是齐次线性方程组(lI-A)X=0有非零解的l值.即满足方程det(lI-A)=0即的l都是矩阵A的特征值.因此,特征值是l的多项式det(lI-A)的根.,2020/6/11,4,AX=lX,det(lI-A)=0(5.2)定义设n阶矩阵A=(aij),则,称为矩阵A的特征多项式,lI-A称为A的特征矩阵,(5.2)式称为A的特征方程.,2020/6/11,5,显然,n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式.特征多项式的k重根也称为k重特征值.当n5时,特征多项式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2,-2进行尝试先得到一个根,则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.,2020/6/11,6,例,解,验证：是否为A的特征向量,2020/6/11,7,注1,注2,注3,如果是A对应于特征值的特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。,2020/6/11,8,注5,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的,注4,如果是A对应于特征值的线性无关特征向量，则也是A对应于特征值的特征向量。,2020/6/11,9,例求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,2020/6/11,10,对应的特征向量可取为,A属于的全部特征向量：,A属于的全部特征向量：,2020/6/11,11,例求矩阵,的特征值和特征向量.解矩阵A的特征多项式为,A的特征值为l1=2,l2，3=1(二重特征值).,2020/6/11,12,当l1=2时,由(l1I-A)X=0,即,得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此k1X1(k10为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.,2020/6/11,13,当l2=1时,由(l2I-A)X=0,即,得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此k2X2(k20为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.,2020/6/11,14,例求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,2020/6/11,15,得基础解系,得基础解系,2020/6/11,16,例主对角元为a11,a22,.,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是|lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22).(l-ann),故A,B的n个特征值就是n个主对角元.,2020/6/11,17,2、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,.,ln.则,5.1.2特征值和特征向量的性质,1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0.,2020/6/11,18,矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:3、若l是矩阵A的特征值,X是A属于l的特征向量,则(i)kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常数),(ii)lm是Am的特征值(m是正整数);(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;(iv)当A可逆时,detA/l是A*的特征值.且X仍是矩阵kA+aI,Am,A-1,A*的分别对应于特征值kl+a,lm,1/l,detA/l的特征向量.,2020/6/11,19,证已知AX=lX(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),这是因为(kA)X=k(AX)=klX,即kl是kA的特征值,X是kA的属于特征值kl的特征向量.(ii)A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX),即A2X=l2X再继续上述步骤m-2次,就得AmX=lmX.(iii)当A可逆时,l0,由AX=lX可得A-1(AX)=A-1(lX)=lA-1X因此A-1X=l-1X故l-1是A-1的特征值,且X也是A-1对应于l-1的特征向量,2020/6/11,20,4、矩阵A和AT的特征值相同.证因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT所以det(lI-A)=det(lI-AT)因此A和AT有完全相同的特征值.,2020/6/11,21,定理,设阶方阵A有互不相同的特征值，(iIA)x=0的基础解系为则；线性无关,推论,6、设A为n阶方阵，,若为A的特征值，则是f(A)的特征值,7、设为A的k重特征值,A关于的线性无关的特征向量的最大个数为s，则1sk(矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）,2020/6/11,22,例设A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，试求：(1)A对角线上元素之和；(2)|A|；(3)|A2+A+I|,解设A=(aij)由定理知(1)a11+a22+a33=1+2+3=1+2+3=6(2)|A|=123=123=6(3)因A的特征值为1，2，3，设f(x)=x2+x+