11 代数方程复习教师

第十一讲 代数方程复习【分式方程】1. 分母中含有未知数的方程叫做分式方程2. 解分式方程的方法：（1）直接去分母去分母的方法是方程两边各项都同乘以各分母的最简公分母，去掉分母（2）换元法适合于某些特殊的分式方程，换元后达到降次的效果一般来说，比较适合用换元法求解的特殊方程有以下三类：原方程可看成是关于某一分式方程的二次方程例如：方程中含有未知数的几个分式（除数字系数外）有互为倒数的关系例如：，出现未知数的各项分式中，未知数的二次项系数和一次项系数（或常数项）对应成比例例如：，（3）利用分式变形有些分式方程，如果直接去分母，有时计算比较复杂，甚至得出一元高次方程这时，可以先对原方程中的分式进行一些变形，如约分，或把一个分式写成一个整式与一个分式的和的形式等1. 解方程：解：方程两边同乘以得，整理得 ，解得，检验：当时，所以是增根，当时，所以是原方程的根原方程的根是2. 解方程：解：原方程化为， ， 经检验：为原方程的解3. 解方程：解：设，则原方程可化为， 解得，由得， 由得，经检验：，都是原方程的根 原方程的根是，4. 解方程：解：设，则原方程可化为，去分母，整理得，解得，由得， 由得，经检验：都是原方程的根5. 解方程：解：原方程可化为即 通分，得，解方程，得 经检验，是原方程的根6. 解方程：解：原方程就是先两边乘以，得再在两边乘以，去分母，整理得，解得，经检验，都不是增根所以，原方程的根为，7. 若方程无解，求m的值解：原方程可化为 整理得，要使原方程无解，则； 若，则为增根，即，解得【无理方程】方程中含有根式，且被开方数含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程（或根式方程）1. 解无理方程的方法（1）平方法注意：一般情况下，如果方程中只有一个根式，经过一次两边平方，就能把原方程化为有理方程通常解这类方程，应该先移项，把被开方数中含有未知数的根式放在方程的一边，其余的移到另一边，再两边平方如果方程中出现多个根号内含有未知数，那么需要多次两边平方才能将无理方程转化成有理方程，为使求解过程不致很繁，应注意几个根式适当搭配，使平方后尽量简单（2）换元法根号里是未知数的二次多项式，其二次项系数、一次项系数恰和根号外的二次项系数、一次项系数相同（或对应成比例），这样的无理方程可以用换元法来求解，往往将整个二次根式令为另一字母8. 解方程： 解：移项得，两边平方得，整理得，再两边平方得，化简得，解得或经检验，是原方程的根9.解：由题意，原方程可化为移项，得，两边平方并整理得，解得，经检验，是原方程的根10. 解方程：解：设，则原方程可化为， 解得，由，得， 两边平方，整理得，解得，由，得因为的值不可能是负数，所以方程无解 检验：把，代入原方程，都成立所以，原方程的根为，11. 解方程：解：设，则，原方程可化为，解得，由，得因为不可能是负数，所以此方程无解由，得，两边平方，整理得，解得，经检验：它们都是原方程的根 所以，原方程的根为，12. 已知，其中，求的值解：由，化简得到，其中恒成立，则,【二元二次方程组】仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程1. 二元二次方程组的解法（1）代入消元法由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的二元二次方程组称为第一类型二元二次方程组解这类方程组一般可以用代入法消去一个未知数，化为一元二次方程（或一元一次方程）来解（2）因式分解法（开平方法）由两个二元二次方程组成的二元二次方程组称为第二类型二元二次方程组如果两个二元二次方程中有一个可以因式分解，那么原方程组可以转化为两个第一类型二元二次方程组求解；如果两个二元二次方程都能分解成两个二元一次方程，原方程组可以转化为四个二元一次方程组求解（3）加减消元法如果第二类型的二元二次方程组的两个方程都不含一次项，那么可以用加减法消去常数项，然后通过因式分解化为两个第一类型的二元二次方程组求解如果方程中所有二次项的系数对应成比例，这时可用“加减法”消去“二次项”达到“降次”的目的；如果方程组中某一个未知数的系数对应成比例，可用“加减法”消去这个未知数，达到“消元”的目的13. 解方程组：解：把代入，得，整理，得，解得，把代入，得；把代入，得 所以，原方程组的解为，14. 解方程组：解：由 或 代入（2） 代入（2） 或 15. 解方程组：解：方法一：，得，于是有或所以，原方程组可化为两个方程组；，分别解这两个方程组，得原方程组的解为，方法二：，得，即，所以原方程组可化为两个方程组；，分别解这两个方程组，得原方程组的解为，方法三：，得，即，所以，所以，原方程组可化为，解这个方程组，得原方程组的解为，【代数方程应用题】16. 小明将勤工俭学挣得的400元钱按一年定期存入少儿银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的本金和利息全部购买某种一年期债券已知债券的年利率比存款的年利率高2.5个百分点，这样到期后可得本金和利息共378元求这种债券的年利率解：设少儿银行一年期存款年利率为x，则某种一年期债券的年利率为，即根据题意，列出方程整理，得解得，（不合题意，舍去） 答：这种债券的年利率为5%17. 长江水流速为4千米/时长寿港在重庆港下游80千米处，如果慢船在重庆港、快船在长寿港同时出发相向而行，那么它们将在中点处相遇；如果慢船在长寿港、快船在重庆港同时出发相向而行，那么快船到长寿港的时间比慢船到重庆港的时间早2小时30分求快船、慢船各自在静水中的速度解：设静水中快船速度为x千米/时，慢船速度为y千米/时根据题意，得，由，得，代入，得解这个方程，得，（不合题意，舍去） 把代入，得经检验，是原方程组的解答：快船、慢船在静水中的速度分别为28千米/时和20千米/时【作业】1. 解方程：解： 令 化简得： 解得 经检验，都是原方程的根2. 已知关于x的方程有一根是3，试解这个方程解：将代入方程求得，原方程化为，令，则，原方程化为，即，解得，由得，两边平方整理得，解得，由得，无解经检验，为原方程的根3. 解方程组：解：由（2）： 或 代入（1） 代入（1） 4. 一个工程队挖通一段隧道要14天，如果增加4名队员，每人每天多工作1小时，那么这个工程可以在10天内完成；如果工程队再增加6名队员，每人每天再多工作1小时，那么全部工程只需7天就能完成工程队原来有队员多少人？原来每人每天工作多少小时？解：设工程队原来有队员x人，原来每人每天工作y小时根据题意，列出方程组，原方程组可以化为，得，即将代入，得答：这个工程队原来有队员20人，原来每人每天工作6小时【备用】1. 解方程：解：原方程可化为即 当时，原式成立当时，解得经检验，都是原方程的根2. 阅读后再填空并解后面的题目：计算：的值，为了解决此问题，可设原式，即，即可得，解此分式方程，得，但因为，所以原式的值为上面问题的解决是通过将式的运算转化为方程的问题来解决，这是一种很有用的解题方法，试用这种方法计算该题：的值解：可设原式，即，即可得，解此无理方程，得，但因为，所以原式的值为3. 已知，其中p是实数