第二章-控制系统的数学模型 2

第二章控制系统的数学模型,系统数学模型:各变量之间关系的数学表达式。（微分方程、传递函数）建立方法：分析法（机理法，简单的系统）实验法（系统辨识法，黑箱）。,2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4控制系统建模实例,本章内容,其中，y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入。,线性定常系统微分方程的一般形式：,2-1时域数学模型,特点：最基本（基础）分析法线性化,牛顿第二定律:物体所受的外力和等于物体质量与加速度的乘积虎克定律:弹簧弹力等于弹性系数与相对变形位移的乘积粘性摩擦定律:粘性摩擦力等于摩擦系数与相对速度的乘积,例2-1图中是由电阻R、电感L和电容C组成的RLC无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。,解,消去中间变量，得微分方程（时域数学模型）,二.控制系统的微分方程,例列写RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t)。,解,整理得：,令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则得,讨论：比较两个例题的时域表达式的形式,均为二阶线性微分方程，模型结构均为：看似完全不同的系统，却具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述（相似系统）。用一个简单数学模型去研究与其相似的复杂系统。由于电路系统易于构建，且便于测试，常用电路模拟其他系统。,解弹簧阻力F1(t)，粘性摩擦阻力F2(t)，根据牛二定律,其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出,代入，,例2-3弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。,该网络的数学模型也是一个二阶线性常微分方程。,例2-2写电枢控制直流电动机的微分方程，电枢电压为输入量，电动机转速为输出量。图中，分别是电枢电路的电阻和电感；是折合到电动机轴上的总负载转矩。,解,电枢回路电压平衡方程,电磁转矩方程,电动机轴上的转矩平衡方程,消去中间变量，得到为输出量，为输入量的直流电动机微分方程,二阶微分方程,在工程应用中，电枢电路电感较小，常忽略，简化为,一阶微分方程,如电枢电阻和电动机的转动惯量都很小，忽略不计，简化为,电动机转速与电枢电压成正比，电动机可作为测速发电机使用。,例2-5列写下图所示速度控制系统的微分方程。,被控对象是电动机（带负载），输出量是转速，输入量是电压，给定电位器、运算放大器1(含比较作用），运算放大器2(含RC校正网络）、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等组成。,解,运算放大器1（形成并放大偏差）,运算放大器2（RC校正网络）,功率放大器,直流电动机,齿轮系,测速发电机,消去各个中间变量，,一阶微分方程,建立系统微分方程的一般步骤,（1）分析系统工作原理，将系统划分为若干环节，确定系统和各环节的输入、输出变量；（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通过实验等方法得出的基本规律，列写各环节的原始方程式（并考虑适当简化和线性化），每个环节列写一个方程；（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含输入、输出变量及其导数的微分方程；（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方程。,叠加原理：可叠加性、齐次性（或称均匀性）,三.线性定常微分方程的求解,可叠加性,齐次性,几个外作用同时施加于系统，分别处理，求出各外作用单独加入时系统的输出，然后叠加。此外，在数值上可取单位值，大大简化了研究工作。,线性定常微分方程的求解方法有经典法拉氏变换法计算机求解(matlab)拉氏变换法求解线性定常微分方程，将微分方程转换为线性代数方程，以简化计算。步骤：1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程。2）由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,例2-6若已知，且电容上初始电压，初始电流，电源电压。试求电路突然接通电源时，电容电压的变化规律。,解已得网络微分方程为,对各个变量取拉氏变换（注意初始条件）,代入整理，得,由于电路是突然接通电源的，因此可以视为阶跃输入量，即，代入求拉式反变换得到网络微分方程的解,部分分式法，或留数法,如果电路突然接通又立即断开，则可看做输入脉冲函数，即，代入可求得网络输出的单位脉冲响应，即,另外，利用拉氏变换的初值定理和终值定理，可以从的表达式中直接求出的初始值和终值。,当时，的初始值为,的终值为,切线法（小偏差法）,四.非线性模型的线性化,非线性元件线性元件,实际控制系统稳定运行后，一般都处在平衡点附近。确定了控制系统期望的平衡点后，可用切线法解决非线性问题。,五.运动的模态（振型）,运动形态，齐次微分方程通解是它们的线性组合。,2-2复数域（频域）数学模型,微分方程时域模型优点：1.物理意义直观；2.借助电子计算机可迅速准确求解；缺点：手工求解复杂。传递函数频域模型优点：1.表征系统的动态性能；2.研究系统结构或参数变化对性能的影响。（根轨迹法、频率法）3.手工求解简单，便于图解。缺点：物理意义不直观。（物理性质不同的系统，可以有相同的传递函数）。,本节内容1.传递函数的定义和性质2.传递函数的零点和极点3.传递函数的极点和零点对输出的影响4.典型元部件的传递函数,1.传递函数的定义和性质,定义：零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,c(t)为输出量，r(t)为输入量。零初始条件，取拉氏变换:,n阶线性定常系统:,则系统的传递函数为,传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。,例2-8求RLC无源网络的传递函数,解RLC网络的微分方程为：,对上式各项求拉氏变换（假设初始状态为零），得,传递函数的性质：分母阶次高(mn)且所有系数为实数。只适于SISO线性定常系统。只取决于系统的结构和参数，与输入信号的形式无关，与初始条件无关。不完全反映系统的全部内部变量，更不反映系统的实际物理构成。物理性质不同的系统，可以有相同的传递函数。传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定。传递函数与微分方程一一对应，容易转换。传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应。,实际系统存在能量或物质的传递和交换，受其限制，mn,例2-9试求例2-2电枢控制直流电动机的传递函数（考研题型）,解微分方程为,输入（2个）：输入的电枢电压，负载扰动转矩。多输入单输出系统，分别求传函，叠加。,电动机转速在电枢电压与负载转矩同时作用下的响应为,例2-10若已知例2-1中RLC网络的输入输出传递函数为初始电压和初始电流，试求电容电压的单位阶跃响应。（考研题型）,解若为零初始状态，则此题非常易求，即,因非零初始状态，解法步骤：1.首先利用传递函数与微分方程的相通性，得到系统相应的微分方程。2.考虑初始条件，用拉氏变换法求解微分方程便求得非零初始条件下的解。,考虑初始条件，对上式各项求拉氏变换后得,对求拉氏反变换便得到,2.传递函数的零点和极点,首一式,零极点可为复数也可为实数,尾一式,注意两种增益的换算关系。,传递函数的零极点分布图,传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了所描述系统的运动模态。,3.传函零点和极点对输出的影响,4.典型元部件的传递函数,电位器测速发电机电枢控制直流伺服电动机无源网络延迟环节,求传函的两种方法：1.微分方程拉氏变换法（推荐）：写微分方程，在零初始条件下拉氏变换，得传函。2.复阻抗法：用复阻抗直接列代数方程，求传函。,比例环节（无惯性环节）,K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。,比例环节,转子角速度(角位移),电压,微分环节,微分环节，K称微分时间常数,单位阶跃响应：,理想微分环节实际上难以实现，因此常采用带有惯性的微分环节。其传递函数：,执行机构(对被控对象的机械运动快速控制),惯性环节T：惯性环节的时间常数K：惯性环节的增益或放大系数,惯性环节,当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为,单位阶跃响应曲线,惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数,式中,与电枢控制直流伺服电动机是相似系统，重量轻、惯性小、加速特性好，小功率交流执行机构。,惯性环节,惯性环节,输入为，输出,式中，,振荡环节(二阶惯性环节),为阻尼比,无阻尼自然振荡角频率,单位阶跃响应曲线,无源网络（RLC元件）改善性能，校正元件,积分环节,输入ui(t)，输出u0(t),式中：,Ti=RC（积分时间常数）,有源网络,积分环节的单位阶跃响应为,它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能。,具有延迟性质的元部件（延迟环节，时滞环节)皮带或管道输送、管道混合，多设备串联及测量系统等。迟延过大使控制效果恶化，甚至系统失去稳定。,输入信号加入后，输出延迟后重现输入信号,超越函数,式中：延迟时间,惯性环节,有延迟的惯性环节,有延迟的振荡环节,抛开具体结构和物理特点，控制系统元部件可为比例、积分、微分、惯性、振荡、延迟环节或几种环节的组合。,典型环节（1）比例环节（2）积分环节（3）惯性环节（4）微分环节（5）振荡环节（6）延迟环节（7）一阶微分（8）二阶微分,2-3控制系统的结构图与信号流图,结构图和信号流图：将各部件功能及联系用图形表示的简便的数学模型；信号流图符号简单，只适用于线性系统；结构图也可用于非线性系统；从系统的结构图或信号流图中可以方便的求得系统的传递函数。,信号线.带有箭头的直线,箭头表示信号的流向,在直线旁标记信号的时间函数或象函数，(a);,引出点(测量点，分支点).信号引出或测量的位置,从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，这一点与电路图是不同的，(b);,比较点(综合点).两个以上信号进行加减运算,“+”号表示相加，“-”号表示相减，“+”号可省略，输出信号等于所有输入信号代数和，(c);,方框(环节).对信号进行的数学变换,框内为传递函数,(d).方框可视作单向运算的算子，输出量等于输入与框内传递函数乘积,C(s)=G(s)U(s)。,1.系统结构图的组成和绘制,首先，列写系统各元部件的微分方程或者传递函数，并将它们用方框表示。然后，根据各元部件的信号流向，用信号线依次将个方框连接便得到系统的结构图。,绘制结构图步骤：,注：结构图中的方框与实际元部件并非一一对应。（一个实际元部件可用一个或几个方框表示；一个方框也可代表几个元部件或是一个子系统，或是一个大的复杂系统。),例2-1绘制RC无源网络的结构图,解将无源网络视为一个系统，组成网络的元件就对应于系统的元部件。设电路中各变量如图中所示，应用复阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：,按照这些方程可分别绘制相应元件的方框。然后用信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源网络的结构图.,狭长好些,同一系统方框图不唯一,例画出无源RC网络的结构图。,解无源网络视为一个系统，组成网络的元件对应于系统的元部件。,改变中间变量，会有什么结果呢？,从右到左列方程：,框图不一样，可见选择不同的中间变量，结构框图也不一样，但是整个系统的输入输出关系并不改变的。,例2-11下图所示为一个电压测量装置，也是一个反馈控制系统。是待测量电压，是指示的电压测量值。如果不同于，就产生误差电压，经调制、放大以后，驱动两相伺服电动机运转，并带动测量指针移动，直至。这时指针指示的电压值即是待测量的电压值。试绘制该系统的结构图。,电压测量装置原理图,解系统由比较电路、机械调制器、放大器、两相伺服电动机及指针机构组成。考虑负载效应分别列写各元部件的运动方程，在零初始条件下进行拉氏变换，有：,比较电路,调制器,放大器,两相伺服电动机,绳轮传动机构,测量电位器,根据各元部件在系统中的工作关系，确定输入和输出量，按照各自运动方程分别画出每个元部件的方框图。,用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连起来，得到系统结构图。,(1),2.结构图的等效变换和简化,RC网络,思考：a图的电路传递函数是否等于b图两个电路传递函数之积？,两个串联连接的元件的方框图应考虑负载效应。,各环节接受同一输入信号而输出信号又汇合在一点，称并联。,(3).,闭环传递函数:在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。记为(s),开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号B(s)之间所有传递函数的乘积，记为GK(s),GK(s)=G(s)H(s),前向通道传递函数：输入端对应比较器输出E(s)到输出端输出C(s)所有传递函数的乘积，记为G(s),反馈通道传递函数：输出C(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为H(s),结构图简化（等效变换）的基本规则,变换与运算是手段，化简是目的。简化目的：化繁为简，求取传函。简化原则：等效原则（变换前后前向通路及回路中传函乘积保持不变。简化方法：移动引出点或比较点；进行方框运算；将串联、并联、反馈连接的框图合并；,结构图简化,注意：,例2-1求系统传递函数C(s)/R(s).,引出点后移(注意，不宜前移）,例2-1简化下图的结构图,并求系统传递函数C(s)/R(s).,解G1(s)与G2(s)之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，也不可简单地互换位置。最简便方法是分别将比较点前移,引出点后移。,例2-16,3.信号流图的组成及性质,信号流图和结构图类似，都是控制系统中信号传递关系的图解描述。,典型信号流图,传输及增益,信号流图常用术语：源节点（输入节点）：只有信号输出，无输入。阱节点（输出节点）：只有信号输入，无输出。混合节点：既有输入又有输出。前向通路：信号从输入节点到输出节点，每个节点只通过一次的通路。回路（单独回路）：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。回路增益：回路中所有支路增益的乘积。不接触回路：回路之间没有公共节点。,(比较点,引出点),=,4.信号流图的绘制,例2-17绘制右图RC无源网络的信号流图。,由基尔霍夫定律，微分方程如下：,拉氏变换后,按照因果关系，重新排列：,由微分方程绘制信号流图步骤：列写微分方程；通过拉氏变换，将微分方程变换为S的代数方程；对系统每个变量指定一个节点，按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；根据数学方程式将各个节点变量正确连接，并标明支路增益，得到系统的信号流图。,结构图的信号线用小圆圈标出传递的信号，得到节点；结构图的方框用标有传递函数的线段代替，得到支路。,注意：1.尽量精简节点数目，但源节点或阱节点不能合并掉；2.在结构图比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设置一个节点;3.在比较点之前有引出点对，就需在引出点和比较点各设置一个节点.,由系统结构图绘制信号流图（考研题型）,例2-14试绘制系统结构图对应的信号流图.,解在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对应的节点，将各节点按原来顺序自左向有排列，将结构图中的方框用具有相应增益得支路代替，连接节点得到信号流图。,例将下图系统结构图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数,解：,G1与G2串联等效为G1G2，G3与G4并联等效为G3+G4,G1G2与-H1反馈:,与G3+G4串联:,5.梅森增益公式（masongainrule),简单结构图或信号流图经过等效变换简化后，可直接求得系统的传递函数。复杂结构图或信号流图，等效变换简化很繁琐；宜用梅森公式直接求取传递函数。,（考研必考，考试重点）,梅森增益公式：,例2-19试用梅森公式求系统的传递函数,可直接对系统结构图或者信号流图利用梅森公式。,例利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数C(s)/R(s)。,解：4条前向通道，对应与为:p1=G1G2G3G4G51=1p2=G1G6G4G52=1p3=G1G2G7G53=1p4=-G1G6H2G7G54=1,五个单回环，其增益为：L1=-G3H2，L2=-G5H1，L3=-G2G3G4G5H3，L4=-G6G4G5H3，L5=-G2G7G5H3，L6=G6H2G7G5H3，L1与L2是互不接触的，其增益之积,L1L2=G3G5H1H2,系统的特征式为:,系统的传递函数为,例,Y,1,1,1,-1,G3,G2,G1,-F2,-F1,x4,x3,x2,x1,Y,此题各回路互相接触，采用Mason公式求传递函数非常方便。,例,用方框图化简：,用Mason公式：,此题各回路互相不接触，采用方框图的变换方法比Mason公式简单。,（考研重点概念与公式）,6.典型反馈控制系统传递函数,叠加原理,一定条件下，系统输出只取决于反馈通路传递函数及输入信号，与前向通路传函无关，也不受扰动的影响。特别是当，即单位负反馈时，,实现了对输入信号的完全复现，且对外界扰动和内部参数变化引起的控制性能改变具有较强的抑制能力（这种能力可称为控制系统的鲁棒性，Robustness)。,反馈信号,开环传递函数,前向传递函数,闭环传递函数