科学计算与数学建模第8章 决策方案评价问题-层次分析法-8.4-层次分析法的若干问题.pptx

8.4层次分析法的若干问题,层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用，而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有很快的发展。本节将着重从应用的角度讨论几个问题。正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？为什么用特征向量作为权向量？当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,8.4.1应用层次分析法的注意事项,层次分析法的优点系统性将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策。成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具；实用性定性与定量相结合，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者也可以直接应用，增加了决策的有效性；简洁性计算简便，结果明确，层次分析法的基本原理和基本步骤简单，便于决策者直接了解和掌握。,层次分析法的局限囿旧只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案；粗略该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题；主观从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，个人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。,8.4.2正互反阵的相关性质,(3),lim,k,Ae,keTAke,w,e(1,1,1)T，w是对应的归一化特征向量。,成对比较矩阵是正互反阵。层次分析中用成对比较矩阵的最大特征根的特征向量作为权向量。用最大特征根定义一致性指标、进行一致性检验。这里需要回答的问题是：正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量；一致性指标的大小是否反映成对比较矩阵接近一致阵的程度。定理1设矩阵A的所有元素为正数，称A为正矩阵，则有(1)正矩阵A的最大特征根是正单根；(2)最大特征根对应特征向量w的所有分量为正数；,定理的(1)和(2)是著名的Perron（1907）定理的一部分，(3)可通过将A化为标准形证明（略）。,正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。,定理2n阶正互反阵A的最大特征根n,=n是A为一致阵的充要条件。,上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论依据。,一致性指标,定义合理。,CI,nn1,8.4.3正互反阵最大特征和特征向量的实用算法,由于用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的，特别是矩阵阶数较高的时候。另一方面，因为成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果，对它作精确计算是不必要的，所以完全可以用简单的近似方法计算其特征根和特征向量。简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。(1)和法取列向量的算术平均，将A的列向量归一化后取算术平均值，作为A的特征向量。,1,6,4,2A1/211/61/4,0.3,0.5450.3640.091,0.6150.3080.10.077,0.6,0.587,0.324w,0.089,1(1.7690.9740.268)30.5870.3240.0893.009,列向量归一化,1按行进行算术平均,Aww,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010。,计算,0.286,1.769,Aw0.974,说明和法计算步骤的算例,(2)根法取列向量的几何平均，将A的列向量归一化后取几何平均值，作为A的特征向量。,1,6,4,2A1/211/61/4,1,列向量归一化,0.615,0.60.545,0.30.3080.364,0.10.077,0.091,按行进行几何平均,1,1,1,0.58588,0.08882,（0.60.6150.545）3,（0.30.3080.364）3=0.32279,（0.10.0770.091）3,归一化,0.5874,0.3236w,0.0890,从而，用与和法同样的方法求出A的特征值。,(3)幂法迭代算法1)任取一归一化初始向量w(0),k:=0，设置精度,Aw(k),w(k1),2)计算,n,w,i1,(k1)i,/,3)归一化w(k1)w(k1),nw,ni1,(k)i,(k1)i,w,1,5)计算,4)若,，停止；否则，k:=k+1,转2,i,(k1)w(k)ii,maxw,幂法的相关知识参见数值分析或计算方法的教材。,2,nni1j1,j,i,ij,w,w,a,minwi(i1,n),用拟合方法确定w,非线性最小二乘,2,2,n,n,ij,ij,i,j,lna,wj,wlnalni,lnw+lnw,i1j1,nni1j1,minwi(i1,n),=minwi(i1,n),线性化对数最小二乘,结果与根法相同,(4)拟合方法最小二乘法，一致阵A，权向量w=(w1,wn)T,应选权向量w使wi/wj与aij相差尽量小,aij=wi/wj；A不一致,（对所有i,j)。,按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点？,成对比较,aij1步强度,ij,A2,(a(2),Ci:Cj(直接比较）n,issj,ij,aa,s1,a(2),aisasjCi通过Cs与Cj的比较,j,ai(2)2步强度,更能反映Ci对Cj的强度,ij,Ak,(a(k),体现多步累积效应,8.4.4特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,aij,(k),k步强度,定理1,Ake,weTAke,limk,特征向量体现多步累积效应。,当k足够大,Ak第i行元素反映Ci的权重,求Ak的行和,8.4.5不完全层次结构中组合权向量的计算,完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联。不完全层次结构：上层每一元素不是与下层所有元素相关联。,贡献O,教学C1,科研C2,P2,P1,P3,P4,例如评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研，从而C1,C2支配元素的数目不等。,设第2层对第1层权向量为w(2)=(w(2),w(2)T，第3层对第2层权向12,量为w1=(w11,w12,w13,0)，w2=(0,0,w23,w24),(3)(3)(3)(3)T(3)(3)(3T,讨论由w(2),W(3)=(w(3),w(3)计算第3层对第1层权向量的方法。12,w(2),(nw(2),nw(2)T/(nw(2)nw(2)11221122,计算,仍用w(3)W(3)w(2),支配元素越多权重越大,用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正,力相同,w1=(1/3,1/3,1/3,0),w2=(0,0,1/2,1/2),(3)T(3)T,公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1不考虑支配元素数目不等的影响,(3)w(2)计算,再用w(3),W,(2),T,(3/5,2/5),n13,n22,w,支配元素越多权重越小,w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T教学、科研任务由上级安排,w(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)T教学、科研靠个人积极性,考察一个特例：若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1P4能,8.4.6残缺成对比较阵的处理,1,w3/w1,2w1/w3121/21,Cww,2,220A1/2101/22,Aww,作辅助矩阵C1/2,3,w(0.5714,0.2857,0.1429)T,1211/21,设成对比较阵A1/2,2，为残缺元素。,ij,a,ij,a,ijij,aij,0,mi1,ij,设mi为A第i行中的个数，令aij,，构造矩阵A，即,8.4.7更复杂的层次结构,递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。,例,制动,底盘,车轮,方向盘,发动机,