小学五年级奥数(上)第四讲带余除法.ppt

第四讲,带余数的除法,回顾整除的意义,回顾：整除在除法153=5中，没有余数，（也可以说余数是0）我们把这种除法叫做，15是3的，也是商5的，除数3和商5都是被除数15的。他们之间有这样的关系：153=5、155=3、15=35即被除数除数=商被除数商=除数被除数=除数商,整除,倍数,倍数,约数,也就是说：在被除数、商、余数中，知道其中任何两个，就可以求出第三个。,带余除法的意义,做除法163你发现它与153有什么不同：163=51即16=35+1，此时被除数除以除数出现了余数，我们把这种除法叫做。这里，仍然把5叫做商，把1叫做16除以3的余数。被除数、除数、商、余数之间的关系被除数=除数商+余数,带余除法,简单应用（1）被除数=除数商+余数的应用,例1、一个数除以26，商为15，余数是12，求这个数解：被除数=除数商+余数被除数=2615+12=例2、127除以一个数，商和余数分别是6和7，求这个数解：被除数=除数商+余数，即127=除数6+7127=除数6+7除数6=1277=120除数=,390+12=402,综合运用（一）被除数=除数商+余数的应用,例1、一个两位数去除251，得到的余数是41，求这个两位数解：根据被除数=除数商+余数可知251=除数商+41即210=除数商且除数大于4121023572105370542这个两位数是42或者70。,综合运用（一）被除数=除数商+余数的应用,例2、用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16。被除数、除数、商与余数的和是933。求被除数和除数各是多少？解根据被除数=除数商+余数可知被除数=除数40+16由被除数除数商余数933可得除数4016除数4016933除数40除数861即除数41=861除数8614121被除数214016856,被除数、除数、商、余数关系应用的思路回眸,1、在关系式被除数=除数商+余数中，知道其中任何三个，就可以求出第三个。如果不能迅速地列出算式，可以将所给的条件代入关系式中寻找。2、当题目中所给的条件与被除数，除数，商及余数有关时，常常可以考虑利用关系式被除数=除数商+余数进行分析和解答,简单应用（2）利用余数解决排序问题,例1、如上图，含有红蓝两种颜色的一串珠子按规律穿在一条细丝线上，你能告诉大家第2011个珠子的颜色吗？分析：所穿珠子的规律解：这串珠子的规律是每九个为一个循环，其中的第1、3、6个是红色的，20119=2234所以，第2011个珠子是蓝色的。,简单应用（2）利用余数解决排序问题,例2、今天是2011年11月12日，星期六，明年的11月12日是星期几？（没写答案）例3、某年十月里有五个星期六，四个星期天日，想一想，这年的10月1日是星期几？解：因为10月份有31天，每周有7天31743。根据题意可知有5天的一定是星期四、星期五、星期六。所以，10月1日是星期四。,例4、3月18日是星期日，从3月17日作为第一天往回数，即3月16日（第二天），15日（第三天），的第1993天是星期几？分析：每周有7天，19937=284（周）5（天）从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天是星期二。,简单应用（2）利用余数解决排序问题,有关排序的小结,在循环排序问题中，应当首先找到排序的规律，再利用除法求出排了多少轮，余数是多少。进而得出结论。,小结与作业,今天学习了什么：1、带余除法中的数量关系：被除数=除数商+余数当题目中所给的条件与被除数，除数，商及余数有关时，常常可以考虑利用关系式被除数=除数商+余数进行分析和解答2、排序问题：在循环排序问题中，应当首先找到排序的规律，再利用除法求出排了多少轮，余数是多少。进而得出结论。第一次作业：课本习题四1、,补充作业,1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三，这年的十月一日是星期几？2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二，二月一是星期几？3、两个自然数相除,商是22,余数是8,被除数、除数、商、余数之和为866,那么被除数和除数分别等于多少?4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生.问：六年级二班有多少名学生？（47人）,补充作业,1、某年的十月份有5个星期二，4个星期三，这年的十月一日是星期几？解：十月份有31天，31743，由题意知，这一月的31日是星期二，有五天的是星期日、星期一，星期二，所以这一年的十月一日是星期日。,2、某年的二月份有5个星期一，4个星期二，二月一是星期几？分析：如果是平年，二月份有28天，2874。都是4天，由题意知，这一年是闰年，有29天，29741，因此，二月一是星期一。,3、两个自然数相除,商是22,余数是8,被除数、除数、商、余数之和为866,那么被除数和除数分别等于多少?解根据被除数=除数商+余数可知被除数=除数22+8由被除数除数商余数866可得除数228除数228866除数22除数828即除数23=828除数8282336被除数36228800,4、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生.问：六年级二班有多少名学生？（47人）分析：872加上21后是学生人数的倍数872+21=893=1947,第二课时,今天我们探究的问题是：1、带余除法中余数不变的规律。2、带余除法余数不变规律的应用逐步满足条件法,带余除法的一些简单规律（1）,1、我们看下面的算式：156=23（15+6）6=（15+62）6=（15+63）6=（15+67）6=我们发现这样的规律：规律（一）被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变.,也可以说：要想保持余数不变，被除数要加上除数的倍数,33,43,53,93,“被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变”的简单应用,例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以内还有这样的数吗？如果有，请写出来。分析：要想使余数不变，143加的必须是7、8、12的倍数，即7、8、12的最小公倍数7,8,12的倍数。,“被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变”的简单应用,例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以内还有这样的数吗？如果有，请写出来。解：7，8，12=168143+168=311143+1682=479143+1683=647143+1684=815143+1685=983所以还有311、479、647、845、983.,带余除法的一些简单规律（2）同余规律,例、一个自然数，被4、5、6、9去除，余数都是1，试求符合条件的最小自然数。分析：减去1后就能被4、5、6、9整除，说明它比4,5,6,9大1（为什么说求最小的？）,例、一个自然数，被4除余2，被5除余3，被6除余4，被9除余7，试求符合条件的最小自然数。,如果自然数n分别除以几个除数所得的余数都是a，那么n比这几个除数的公倍数大b；如果余数比这几个除数都小b，那么n比这几个除数的公倍数小b。,综合运用（二）同余规律的应用,例5、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数解：符合条件除以3余2，除以7余2的最小数是3,7+2=23，而且235=43所以，符合条件的数是23,综合运用（二）同余规律的应用,例6、（课本例9）69、90和125被某个正整数N整除时，余数相同，试求N的最大值解：三个数被N除余数相同，N(9069），即N21；N(12590)，即N35。N是21和35的约数，要求N的最大值，N是21和35的最大公约数即N=7,综合运用（三）逐步满足条件法,例7、（课本例6）一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1.求适合条件的最小的自然数分析:“除以5余3”，即“加上2后能被5整除”，同样，“除以6余4”即“加2后能被6整数”解：5，62=28,即28适合前两个条件，通过尝试，28+5,64=1481487=211并且1485,6,7=210所以，适合条件的最小的自然数是148,课后小结,一、带余除法的意义及简单应用二、带余除法的一些简单规律三、综合运用的一些例子和方法,一、带余除法的意义及简单应用,简单应用（1）被除数=除数商+余数简单应用（2）利用余数解决排序问题,二、带余除法的一些简单规律,（1）被除数加上除数的倍数后，结果的余数不变（2）如果自然数n分别除以几个除数所得的余数都是a，那么n比这几个除数的公倍数大a；如果余数比这几个除数都小b，那么n比这几个除数的公倍数小b。（3）如果两个整数a和b被自然数n除余数相同，那么这两个整数的差（大减小）一定能把n整除。反过来：如果两个整数之差恰好能把n整除，那么这两个整数除以n所得的余数一定相同。,三、综合运用的一些例子和方法,综合运用（一）被除数=除数商+余数的应用综合运用（二）同余规律的应用综合运用（三）逐步满足条件法,拓展练习,1、用某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，问这个自然数是几？2、在1-400的自然数中，被3，5，7除的余数都是2的数共有多少个?,拓展练习参考答案,1、用某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，问这个自然数是几？解：设这个自然数为N，“某个自然数除300、262和205，得到相同的余数，”N(300262)，即N38N(262205)，即N57N是38和57的公约数。(38,57)=19这个自然数是19,3、在1-400的自然数中，被3、5、7除的余数都是2的数共有多少个?解：被3、5、7除余数都是2的数，是比3、5、7的公倍数大2的数3，5，7105105121071052221210532317答：符合条件的自然数共有三个，它们是107、212和317。.,4、一个自然数分别去除83,213,二个余数的和是9,问：这二个余数中最小的一个是多少？,分析：因为两个余数的和是9，去掉9后，两个数的和一定是除数的倍数。解：（83213）928774183711621373038341212134158答：这二个余数中最小的一个是1。,5、王老师准备将872个笔记本分给六年级二班的学生，她简单计算之后，又补上21个笔记本，这样就可以将笔记本平均分给班里每个学生.问：六年级二班有多少名学生？分析：由题意知，872加上21后是显示人数的倍数，即班级人数是893的约数解：8931947又六年级二班的人数不可能是19，六年级二班的人数是47人。,逐步满足条件法,3、一个数被5除余4，被7除余3，被6除余4，这个数最小是多少？（逐步满足条件法）解：由除以5余4，除以6余4，可知，这个数应当是5和6的公倍数加4，5,630，45,643034，经试验可知：3430294，符合条件，所以这个数最小是94。,被除数、除数、商、余数的关系,4、被除数除以除数，商8，余数是14，被除数、除数商、余数的和是351。求被除数与除数。解根据被除数=除数商+余数可知被除数=除数8+14由被除数除数商余数.351可得除数814除数814351除数8除数315即除数9=315除数315935被除数35814294,逐步满足条件法,5、一个数除以4余3，除以6余5，除以7余1，这个数最小是多少？解：由除以4余3，除以6余5，可知，这个数应当比4和6的公倍数少1，4,612，4,6111，经试验可知：1112571，符合条件除以7余1，所以这个数最小是71。,逐步满足条件法,6、小青有一盒巧克力，7粒一数还少3粒。5粒一数又多2粒，3粒一数正好。这盒巧克力至少有多少粒？解：“5粒一数多2粒”其实是少3粒，由条