学案4 数列求和.ppt

考点1,考点2,考点3,返回目录,考纲解读,等差数列、等比数列前n项和公式的考查一直是高考中数列考查的重点内容，同时，数列与其他知识的综合问题中考查错位相减、裂项求和也时有出现，是复习中另一个注意方面.预测2012年高考,错位相减法求和仍是高考重点,同时注意裂项相消法求和.,考向预测,返回目录,1.常见数列的前n项和,(1)等差数列前n项和Sn=，推导：；等比数列前n项和na1，q=1，q1.推导：.,倒序相加法,乘公比错位相减,Sn=,返回目录,(2)常见数列的前n项和：（1）1+2+3+n=；（2）2+4+6+2n=；（3）1+3+5+（2n-1）=；（4）12+22+32+n2=.(3)常用的数列求和方法（1）公式法（分组求和法）：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；,n2+n,n2,返回目录,（2）裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和；（3）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；（4）倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导方法.3.常见的拆项公式(1)=;,返回目录,(2)=;(3)=.,返回目录,根据数列an的通项公式，求其前n项和Sn.（1）an=10n-1;（2）an=n(n+1).,【分析】若数列为等差数列、等比数列，或能转化为等差、等比数列，或转化为能用其他公式的，用公式法求和.,考点1公式法求和,返回目录,【解析】（1）Sn=a1+a2+an=（101+102+10n）-n=（2）Sn=a1+a2+an=（12+1）+（22+2）+（n2+n）=(12+22+n2)+(1+2+n)=n(n+1)(n+2).,返回目录,在数列求和中，常用的公式有：（1）等差数列：na1q=1q1.（3）1+2+n=（4）12+22+n2=n(n+1)(2n+1).,（2）等比数列:Sn=,返回目录,已知数列log2(an-1),nN*为等差数列,且a1=3,a3=9.（1）求数列an的通项公式；（2）证明:,返回目录,(1)设等差数列log2(an-1)的公差为d.由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28,即d=1.所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.(2)证明:因为，,所以,返回目录,2010年高考课标全国卷设数列an满足a1=2,an+1-an=322n-1.（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn.,【分析】由an与an+1的关系可用累加法求数列通项公式，由an特点选择恰当方法求Sn.,考点2错位相减法求和,返回目录,【解析】(1)由已知,当n1时,an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,符合上式,所以数列an的通项公式为an=22n-1.(2)由bn=nan=n22n-1知Sn=12+223+325+n22n-1,从而22Sn=123+225+327+n22n+1.-得(1-22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即Sn=(3n-1)22n+1+2.,返回目录,（1）一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.（2）用乘公比错位相减法求和时，应注意：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和.,返回目录,设数列an的前n项和为Sn=2n2,bn为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=，求数列cn的前n项和Tn.,返回目录,（1）当n=1时，a1=S1=2；当n2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2.故an的通项公式为an=4n-2，即an是首项a1=2，公差d=4的等差数列.设bn的公比为q，则b1qd=b1，d=4，q=.故bn=b1qn-1=2，即bn的通项公式为bn=.,返回目录,（2）cn=（2n-1）4n-1，Tn=c1+c2+cn=1+341+542+（2n-1）4n-1，4Tn=14+342+543+（2n-3）4n-1+（2n-1）4n.两式相减得3Tn=-1-2（41+42+43+4n-1）+（2n-1）4n=（6n-5）4n+5.Tn=（6n-5）4n+5.,返回目录,【分析】由条件，设首项为a1,公差为d,建立方程组求解a1,d,则an可求，Sn可求，由bn中bn与an关系选择恰当求法.,考点3裂项相消法求和,2010年高考山东卷已知等差数列an满足：a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.,返回目录,返回目录,(2)由(1)知an=2n+1,所以bn=所以Tn=即数列bn的前n项和Tn=,返回目录,(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项等，实际上，裂项法求和时消项的规律具有对称性，即前剩多少项后就剩多少项；前剩第几项，后就剩倒数第几项.再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.(2)一般情况如下,若an是等差数列，则此外根式在分母上时可考虑利用有理化因式相消求和.(3)要注意掌握常用的裂项方法和技巧.,返回目录,设数列an的前n项和为Sn，点(n，)(nN*)均在函数y=3x-2的图象上.（1）求数列an的通项公式；（2），Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.,返回目录,（1）依题意得=3n-2，即Sn=3n2-2n.当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-3(n-1)2-2(n-1)=6n-5；当n=1时，a1=S1=312-21=1=61-5,an=6n-5(nN*).,返回目录,（2）由(1)得bn=故Tn=b1+b2+bn因此，使得(nN*)成立的m必须满足,即m10.故满足要求