创新设计2011第十课--排列--组合--二项式定理10-57.ppt

掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题,第57课时二项式定理,1二项式定理这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的2二项式系数：二项展开式中有n1项，各项的系数(r0,1，n)叫系数3通项：anrbr叫二项展开式的，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.,二项展开式,二项式,通项,4二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数(2)增减性与最大值相对于的增减情况由决定，1k,相等,当k时，二项式系数逐渐由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值(3)各二项式系数和：,增大,最大值,1若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9B8C7D6解析：(x1)41x4a0a1xa2x2a3x3a4x4a01，a26，a41，a0a2a48.答案：B,2若()n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为()A540B162C162D540解析：由已知条件(31)n64，则n6，Tr1由3r0得r3，则展开式中的常数项为540.答案：A,3在(x)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x时，S等于()A23008B23008C23009D23009解析：(x)2006x2006由已知条件S220052100323008.答案：B,4(2010上海春)在的二项展开式中，常数项是_解析：Tr1，由题意知123r0，r4，故常数项为T560.答案：60,对于二项展开式(ab)n中，叫做通项，要注意此项是展开式中的第r1项，同时要注意此项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题,【例1】若(x1)nxnax3bx21(nN)且ab31，那么n_.解析：a，b又ab31，所以，3，解得n11.答案：11,变式1.在二项式(13x)n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么n_，这个展开式中含x2项的系数是_解析：本题考查二项式定理知识令x1得二项展开式各项系数和，即(13)n64n6，因为Tr1，令r2得其系数为135.答案：6135,利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题,【例2】若多项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9等于()A.9B10C9D10解析：x2x10(x1)12(x1)11012(x1)(x1)10.a910.答案：D,变式2.若(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值是()A1B1C0D2解析：令x1得a0a1a2a3a4(2)4，令x1得a0a1a2a3a4(2)4，则(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)(2)4(2)41.答案：A,二项式定理内容是排列组合知识的延续，可通过项数、次数、系数确定展开式，而杨辉三角充分展示了二项式系数的性质和规律，而对其性质及结论的证明和推导可利用排列组合的知识及数学归纳法等进行论证,【例3】在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是345，并证明你的结论,第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051第6行1615201561,解答：(1)(2)，则122n2n11.(3)假设在第n行中有三个连续的数它们的比为345，即由，得7r3n3，由，得9r4n5，解联立方程组得因此可知：第62行的第27,28,29个数它们的比是345.,变式3.已知()n(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101，(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中含的项；(3)求展开式中所有的有理项；(4)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项,解答：由题意第五项系数为，第三项的系数为，则，解得n8(n3舍去)通项公式Tr1(1)证明：若Tr1为常数项，当且仅当0，即5r8，且rZ，这是不可能的，所以展开式中没有常数项,(2)展开式中含的项需，则r1，故展开式中含的项为T216(3)由Tr1，若Tr1为有理项，当且仅当为整数，而0r8，故r0,2,4,6,8，即展开式的有理项有5项，它们是：T1x4，T3112x1，T51120 x6，T71792x11，T9256x16.,(4)设展开式中的第r项、第r1项、第r2项的系数绝对值分别为，若第r1项的系数绝对值最大，则解得5r6，第6项和第7项的系数的绝对值相等且最大，而第6项的系数为负，第7项系数为正系数最大的项为T7.由n8知第5项二项式系数最大，此时T5,【方法规律】,1利用二项式定理可解决含组合数的等式和不等式的证明，还可解决整除及近似计算等问题2二项式定理主要是展开式和通项的应用，可利用展开式证明等式和不等式等，可利用通项公式求特定的项3解决二项式系数和系数等问题要注意使用排列、组合和数列等相关方法,4二项式定理的应用是高考的必考内容，一般只在客观题中考查一些简单问题，建议复习时一定立足于基本5杨辉三角不仅可反映二项式系数的所有性质，还可反映出非常多的数字规律，为发现问题和解决问题提供了优良的操作平台，读者可尽情地发现、挖掘和探究.,将杨辉三角中的每一个数，都换成分数就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x_.令，则=.,【答题模板】,解析：本题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质，通过观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，故此时xr1，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即：an，根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故an，从而an,【分析点评】,点击此处进入作业手册,1