第二章-控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型,第一节引言第二节微分方程、传递函数和阶跃响应第三节机理分析建模方法第四节典型环节的动态特性第五节方框图等效变换和信号流图第六节状态方程模型及求解第七节状态方程模型标准形第八节状态方程模型标准形变换第九节实验建模方法,实际物理系统变成数学模型,数学模型的动态特性分析,个体传函合成,四项建模基本功,实验数据变成传递函数,第一节引言,控制系统数学模型的定义揭示系统各变量内在联系的数学表达式和关系图表数学模型的类型静态特性模型和动态特性模型图，表，表达式图：方框图，信号流图，特性关系图表达式：微分方程，传递函数，频率特性函数，差分方程,第一节引言,数学模型的建立原则分清主次，合理简化，选定类型，整理归纳数学模型的建立方法分析法：据物理化学规律推导实验法：据实验数据拟合,第二节微分方程、传递函数和阶跃响应,2.2.1微分方程2.2.2传递函数2.2.2.1拉普拉斯变换2.2.2.2传递函数定义2.2.2.3传递函数的求取方法2.2.2.4传递函数的性质2.2.3阶跃响应,2.2.1微分方程,数学式定义:设输入为r(t),输出为y(t),则动态系统的微分方程为,2.2.2传递函数,2.2.2.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换定义设函数当有意义,而且积分（是一个复参量）在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数称为函数的拉普拉斯变换式。称为象函数,称为原函数，,广义积分法求拉普拉斯变换例求单位阶跃函数的Laplace变换。解：由定义得（下面需要证明存在，存在）当且仅当时，存在且等于0，即存在。可得,广义积分法求拉普拉斯变换例求，其中为复常数。解：由定义得（下面需要证明存在，存在）当且仅当时，存在且等于0，即存在。可得,广义积分法求拉普拉斯变换例求，为实常数（已知）。解：当时等于0，存在。因此。类似方法可得：,拉普拉斯变换基本性质1)线性性质(Laplace变换）设，则有：例求Laplace变换。解：由于，及因此,拉普拉斯变换基本性质线性性质（Laplace逆变换）设，则有：例求的Laplace逆变换。解：因此,拉普拉斯变换基本性质2)位移性质例求解：由于应用位移性质例求的Laplace逆变换。解：应用位移性质,拉普拉斯变换基本性质3)延迟性质例设，求。解：应用延迟性质,拉普拉斯变换基本性质4)微分性质;例求函数的Laplace变换。解：由于并且则由微分性质得=则,拉普拉斯变换基本性质5)积分性质例已知，求的Laplace变换。解：由积分性质得,拉普拉斯变换基本性质6)初值定理7)终值定理当的所有奇点全在平面的左半部时例，求。解：验证：结果一致,拉普拉斯变换基本性质1)线性性质设，则有：2)位移性质3)延迟性质,拉普拉斯变换基本性质4)微分性质;5)积分性质,拉普拉斯变换基本性质6)初值定理7)终值定理当的所有奇点全在平面的左半部时,2.2.2传递函数,2.2.2.2传递函数定义文字定义:零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比数学式定义:设输入为r(t),输出为y(t),则系统的传递函数为2.2.2.3传递函数的求取方法1)对微分方程进行拉氏变换(零初始条件)2)对脉冲响应进行拉氏变换3)实验建模方法(详见2.9节),2.2.2.3传递函数的求取方法,1)对微分方程进行拉氏变换(零初始条件)系统微分方程:零初始条件拉氏变换:整理得传递函数:规范形式:A(s)为首一多项式,a0=1,2.2.2.3传递函数的求取方法,2)对脉冲响应进行拉氏变换取输入x(t)=(t)则有X(s)=1所以输出Y(s)=G(s)X(s)=G(s)这样有传递函数求取公式：当x(t)=(t)，G(s)=Ly(t),G（s）,X（s）,Y（s）,2.2.2.4传递函数的性质,1)传递函数的系数和阶数均为实数，只与系统内部结构参数有关而与输入量初始条件等外部因素无关2）实际系统的传递函数是s的有理分式（nm）3)传递函数是物理系统的数学模型，但不能反映物理系统的性质，不同的物理系统可有相同的传递函数4）单位脉冲响应是传递函数的拉氏反变换5）传递函数只适用于线性定常系统,2.2.3阶跃响应,阶跃响应容易通过实验和仿真获得输入x(t)=1(t)则有X(s)=1/s所以输出Y(s)=G(s)/s未知传函时，G(s)=sY(s)已知传函时，这样有响应函数：y(t)=-1G(s)/s,G（s）,X（s）,Y（s）,t,y,第三节机理分析建模方法,2.3.1建立模型的方法2.3.2建立模型举例2.3.2.1机械系统力守恒定律2.3.2.2电气系统电能守恒定律2.3.2.3液力系统质量守恒定律2.3.2.4热力系统能量守恒定律2.3.3物理系统的相似性,2.3.1建立模型的步骤,划分系统元件,确定各元件的输入和输出根据物理化学定律列写各元件的动态方程式,为使问题简化可忽略次要因素物理化学定律例如:牛顿第一定律,能量守恒定律,基尔霍夫定律,欧姆定律，道尔顿定律消除元件动态方程式中的中间变量,推导元件的输入输出关系式整理出系统的输入输出关系式,2.3.2.1建模举例-机械系统,1).弹簧-质量-阻尼系统已知:弹簧系数K,质量M,外力F(t),阻尼系数f.求:系统动态方程式.解:设外力F为输入，y为输出。根据牛顿第二定律整理成规范形式,K,F(t),y(t),f,M,2).弹簧-阻尼系统已知:弹簧系数K,外力x,阻尼系数f,位移y.求:系统动态方程式.解:设外力x为输入，y为输出。根据牛顿第三定律整理成规范形式,K,f,y,x,3).无固定的弹簧-阻尼-质量系统已知:弹簧系数K,位移x,阻尼系数f,位移y,质量M.求:系统动态方程式.解:设位移x为输入，y为输出。根据牛顿第二定律整理成规范形式,K,f,y,x,M,4).机械转动系统已知:转动惯量J,转矩T,摩擦系数f,转角.求:系统动态方程式.解:根据牛顿第二定律,T,f,J,2.3.2.2建模举例-电气系统,1).RLC电路求:以Ui为输入，Uo为输出的系统动态方程式.解:根据基尔霍夫定律消去中间变量，,Ui,Uo,C,L,R,2.3.2.3建模举例-液力系统,1).单容水箱已知:流入量Qi,流出量Qo,截面A;液位H求:以Qi为输入，H为输出的系统动态方程式.解:根据物质守恒定律或中间变量为Qo,据流量公式线性化处理:规范化,Qi,Qo,A,H,或,2.3.2.4建模举例-热力系统,1).绝热加热过程已知:进热流量hi,出热流量h0,工质流量G,温度,比热Cp，器内质量M求:以hi为输入为输出的系统动态方程式.解:根据能量守恒定律（外加能量=内能变化）,G,hi,M,Cp,h0,中间变量为h0,2).加热装置已知:进热量hi,工质流量q,进口温度i,出口温度0,环境温度c,热容C，进口工质比热Cp，热阻R求:绝热时和不加热时的系统动态方程式.解:根据能量守恒定律,C,Cp,c,绝热且不加热时,绝热时,2.3.3物理系统的相似性,物理系统遵循基本的物理定律,不同的物理系统质同形不同,有相似性.上述四种物理系统的相似性:物理系统势流阻容感电气系统UIRCL液力系统hqRA热力系统QRC机械系统FvfKm利用物理系统的相似性,可使机理分析建模工作大为简化,第四节典型环节的动态特性,2.4.1比例环节2.4.2积分环节2.4.3微分环节2.4.4惯性环节2.4.5振荡环节2.4.6迟延环节2.4.7PID控制器的动态特性,求解环节动态特性的基本技能,列写动态方程式用拉氏变换求传递函数用拉氏反变换解出阶跃响应记住响应特点和对应的物理实例,2.4.1比例环节,动态方程:y(t)=Kx(t)传递函数:G(s)=K方框图:阶跃响应:特点:输入与输出成比例实例:U=RI,K,t,y=Kx0,X(t),y(t),x=x0,I,U,R,2.4.2积分环节,动态方程:传递函数:方框图:阶跃响应:特点:T大则积分慢实例:,1/(Ts),y(t),X(t),2.4.3微分环节,动态方程:(理想)(实际)传递函数:阶跃响应:特点:Td决定了微分作用时间实例:,G(s),t,x=x0,Td,Kdx0,I,Uy,C,Ux,R,0.368Kdx0,2.4.4惯性环节,动态方程:传递函数:方框图:阶跃响应:特点:Tc决定过渡过程时间,K决定稳态输出值.实例:,G(s),Uy,C,Ux,R,2.4.5振荡环节,动态方程:传递函数:方框图:单位阶跃响应:特点:是关键参数,它决定了振荡特性,n决定振荡周期.,G(s),t,y,2.4.5振荡环节(续),Uy,C,Ux,R,L,实例:,2.4.6迟延环节,动态方程:传递函数:方框图:x(s)y(s)阶跃响应:特点:y(t)比x(t)迟延了一段时间.实例:,e-s,t,y(t)=x0t,x=x0,Y(t),Qi,Qo,2.4.7PID控制器的动态特性,2.4.7.1P控制器2.4.7.2PI控制器2.4.7.3PD控制器2.4.7.4PID控制器,2.4.7PID控制器的动态特性,2.4.7.1P控制器Kp:比例增益；:比例带2.4.7.2PI控制器Ti:积分时间,E(s),(s),e(t),(t),e0,Kpe0,(t),Kpe0,2Kpe0,Ti,Gc(s),2.4.7PID控制器的动态特性,2.4.7.3PD控制器理想Td:微分时间实际,e(t),(t),e0,Kpe0,(t),Kpe0,K