一些特殊曲线

.,5旋轮线6旋轮线也叫摆线7旋轮线是最速降线8心形线9星形线10圆的渐伸线11笛卡儿叶形线12双纽线13阿基米德螺线14双曲螺线,主目录（125）,15,16,2,3,1曲边梯形的面积,4曲边扇形的面积,.,19平行截面面积为已知的立体的体积。20半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。21求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。22旋转体体积(y=f(x)绕x轴)23旋转体体积(x=g(y)绕y轴）24旋转体体积（柱壳法）25旋转体的侧面积,18,17,求由双纽线,内部的面积。,.,.,元素法,1化整为零,2以直代曲(以常代变),3积零为整,y=f(x),.,.,分法越细，越接近精确值,1.曲边梯形的面积,f(i),.,.,元素法,4取极限,y=f(x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1化整为零,2以直代曲(以常代变),3积零为整,1.曲边梯形的面积,.,f(i),.,元素法,4取极限,y=f(x),令分法无限变细,.,.,.,.,分法越细，越接近精确值,1化整为零,2以直代曲(以常代变),3积零为整,1.曲边梯形的面积,.,f(i),S=,.,S,.,.,2,。,。,2.,4,4,4,解方程组：,得交点：(8,4)，(2,2),问题：选谁为积分变量？,.,。,。,3.,3,3,得两切线的斜率为,故两切线为,其交点的横坐标为,。,。,S=,l1,l2,.,(),d,o,+d,r=(),元素法,1取极角为积分变量，其变化区间为,以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：,.,.,4.曲边扇形的面积,dS,S,3作定积分,.,r,.,a,圆上任一点所画出的曲线。,5.旋轮线,一圆沿直线无滑动地滚动，,.,来看动点的慢动作,圆上任一点所画出的曲线。,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,5.旋轮线,.,2a,2a,a,x=a(tsint)y=a(1cost),t的几何意义如图示,t,a,当t从02，x从02a,即曲线走了一拱,a,圆上任一点所画出的曲线。,5.旋轮线,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,.,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,6.旋轮线也叫摆线,单摆,.,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,.,单摆,6.旋轮线也叫摆线,.,单摆,.,6.旋轮线也叫摆线,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,.,两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。,单摆,.,6.旋轮线也叫摆线,x=a(tsint)y=a(1cost),将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板,.,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),7.旋轮线是最速降线,生活中见过这条曲线吗？,.,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),.,生活中见过这条曲线吗？,7.旋轮线是最速降线,.,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),生活中见过这条曲线吗？,7.旋轮线是最速降线,.,.,x=a(tsint),B,A,答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。,最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？,y=a(1cost),生活中见过这条曲线吗？,滑板的轨道就是这条曲线,7.旋轮线是最速降线,.,.,a,a,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,8.心形线,(圆外旋轮线),.,a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,8.心形线,(圆外旋轮线),a,.,a,a,2a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),8.心形线,.,2a,r=a(1+cos),02,0r2a,P,r,一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,(圆外旋轮线),8.心形线,.,a,a,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,9.星形线,(圆内旋轮线),.,a,a,来看动点的慢动作,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,9.星形线,(圆内旋轮线),.,a,a,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,来看动点的慢动作,.,9.星形线,(圆内旋轮线),.,a,a,02,或,.,P,.,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,9.星形线,(圆内旋轮线),.,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,10.圆的渐伸线,a,.,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,.,a,10.圆的渐伸线,再看一遍,.,.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,10.圆的渐伸线,.,.,a,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,10.圆的渐伸线,.,a,0,x,M,t,t,a,at,(x,y),试由这些关系推出曲线的方程,.,一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹,10.圆的渐伸线,.,1.曲线关于y=x对称,2.曲线有渐进线x+y+a=0,分析,3.令y=tx,得参数式,故在原点，曲线自身相交.,11.狄卡儿叶形线,4.,.,x+y+a=0,曲线关于y=x对称,曲线有渐近线x+y+a=0,.,11.狄卡儿叶形线,.,P,r,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,曲线在极点自己相交，与此对应的角度为=,.,.,.,.,.,距离之积为a2的点的轨迹,直角系方程,12.双纽线,.,.,所围面积,.,.,.,由对称性,.,12.例,求双纽线,.,0,r,r=a,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,13.阿基米德螺线,.,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,.,13.阿基米德螺线,r=a,.,0,r,曲线可以看作这种点的轨迹：,动点在射线上作等速运动,同时此射线又绕极点作等速转动,从极点射出半射线,再看一遍,请问：动点的轨迹什么样？,.,13.阿基米德螺线,r=a,.,0,r,.,13.阿基米德螺线,r=a,.,0,r,r=a,.,13.阿基米德螺线,.,0,r,r=a,.,13.阿基米德螺线,.,r,这里从0+,8,r=a,0,2a,每两个螺形卷间沿射线的距离是定数,.,13.阿基米德螺线,.,0,r,8,当从0,r=a,.,13.阿基米德螺线,.,r,0,.,这里从0+,8,.,.,14.双曲螺线,.,r,0,.,当从0,8,.,14.双曲螺线,.,15.,2,.,.,S=,=1+cos,3,r=3cos,由3cos=1+cos,得交点的坐标,S,2,.,.,.,.,.,.,.,.,16.,1,令cos2=0,由sin0,联立后得交点坐标,.,.,.,S=2,.,.,17.,1,s1,s2,.,.,.,.,.,.,s,S=,=1+cos,.,求由双纽线,.,.,.,.,由对称性,.,18.,a,内部的面积。,双纽线化成极坐标,令r=0,S=,4,+,.,.,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为A(x)的立体,.,a,V,以下是几个例子,19.平行截面面积为已知的立体的体积,b,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,R,o,x,y,20.,.,o,y,R,x,R,R,20.,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,.,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,ytan,问题：还有别的方法吗？,(x,y),截面积,A(x),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,20.,.,.,o,y,R,x,R,R,方法2,.,20.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,.,o,y,R,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x,y),=2x,=ytan,.,S(y),.,20.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,.,R,x,o,y,R,21.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,.,R,x,o,x,A(x),A(x),V=,.,.,.,.,R,y,21.,.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,y,.,f(x),a,b,曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,22.求旋转体体积,.,f(x),a,b,x,.,.,111111111,.,曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转,22.求旋转体体积,V=,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴,23.求旋转体体积,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴,.,23.求旋转体体积,x=g(y),c,d,y,.,.,.,23.求旋转体体积,.,曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴,.,a,b,f(x),y,x,0,24.求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,x,dx,.,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,dx,.,24.求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),.,b,y,x,0,a,.,24.求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),.,b,y,x,0,a,.,24.求旋转体体积柱壳法,曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴,dV=,2xf(x)dx,f(x),.,0,y,0,x,b,x,a,dx,.,24.求旋转体体积柱壳法,曲边