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Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 11/ 11 第第 11讲比例模型讲比例模型 11 经典例题经典例题 11 如图，在三角形 A B C中，A F = 2 B F ，C E = 3 A E ，C D = 4 B D 连接 C F 交 D E于 P点： （1 ）求的值； （2 ）求的值 E P D P C P F P 22 如图，A B E = D C F = 9 0 ，A B = 3 ，D C = 5 ，B C = 6 ，B E = E F = F C ，A F 交 D E于 G ，则三角形 D F G角形 A G E 面积的和为 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 22/ 22 33 如图，正方形 A B C D中 M、N分别是所在边的中点，A 、F 、G分别是所在边的四等分点，已知E H M 的面积是 4 4平方厘米，那么H N G的面积是平方厘米 44 如图所示，点 B 、C 、A1、B2在同一直线l；将直角三角形 A B C以点 C为心可以旋转至与直角三角形 A1B1C重合，再以点 A1为中心可以旋转至直角三角形 A1B2C1重合；连结 A A1交 B1C于点 P ，连结 B1B2 交 A1C1于点 Q ，设 A B = 3 ，B C = 4 ，求阴影三角形 B1P Q的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 33/ 33 55 如图，O为三角形 A B C内一点，三角形 O A C 、三角形 O A B 、三角形 O B C的面积分别为 3 0 、6 0 、1 2 0 ， 如果 A D = 1 . 5 D B ，A E = 2 E C ，求： （1 ）O M: MB （2 ）三角形 O MN的面积 66 三角形 A B C的面积为 1 5平方厘米，D为 A B中点，E为 A C中点，F 为 B C中点，求阴影部分的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 44/ 44 77 下图中，四边形 A B C D都是边长为 1的正方形，E 、F 、G 、H分别是 A B ，B C ，C D ，D A的中点，如果 左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么， （m+ n ）的值等于 m n 88 如图，大正方形面积为 1 0 5平方厘米，正方形边上所有的点均为所在边的四等分点，那么图中阴影部 分面积为平方厘米 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 55/ 55 99 如图，面积为 1三角形 A B C中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是 A B 、B C 、C A的三等分点，求阴影部分面 积 1 01 0 在三角形 A B C中，阴影部分是由各边四等分点连接形成，阴影面积为 2 0 1 5 ，那么三角形 A B C的面 积为 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 66/ 66 1 11 1 见右图，三角形 A B C的面积为 1 ，D O : O B = 1 : 3 ，E O : O A = 4 : 5 ，则三角形 D O E的面积为 1 21 2 已知四边形 A B C D ，C H F G为正方形，:= 1 : 8 ，a 与 b 是两个正方形的边长，求 a : b = ？S 甲 S 乙 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 77/ 77 夯实巩固夯实巩固 11 如图，设 A B C D是正方形，P是 C D边的中点，点 Q在 B C边上，且A P Q = 9 0 ，A Q与 B P相交于点 T ， 则的值为多少？ B T T P 22 如图， 在三角形A B C 的边A B ， B C 和C A 上分别取点K ， M和P 使得A K : K B = 2 : 3 ， B M: MC = 3 : 4 ， C P : P A = 4 : 5 线 段 B P与 K M相交于 O点，则= B O O P Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 88/ 88 33 如图，在三角形 A B C中，A E = E D ，D点是 B C的四等分点，阴影部分的面积占三角形 A B C面积的几分 之几？ 44 （1 0届华杯总决赛）如图，A B C D的面积为 2 0 1 0的正方形，E ，F ，G ，H ，分别是线段 A B ，B C ，C D ， D A中点那么图中深黑色八边形的面积是多少？ Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 99/ 99 55 如图，在三角形 A B C中，三角形 A E O的面积是 1 ，三角形 A B O的面积是 2 ，三角形 B O D的面积是 3 ， 则四边形 D C E O的面积是多少？ 66 三角形 A B C中，B E = 1 ，E F = 6 ，F C = 2 ，B D = 2 A D ，三角形 A H G的面积是 4 . 8 6 ，三角形 G F C的面积是 2 ， 则四边形 B E H D的面积是 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 1 01 0/ 1 01 0 77 如图，在平行四边形 A B C D中，M、N分别为对应边上的三等分点，已知四边形 B C D O的面积为 4 8 平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？ 88 如图A B C中，A F = A B ，B D = B C ，C E = C A ，若= 1 ，求P Q R的面积 1 2 1 3 1 6 S A B C Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 1 11 1/ 1 11 1 99 如图（1 ） ，在A B C中，D 、E分别为 A B 、B C边上靠近 B点的三等分点，A B C的面积为 3 6 （1 ）求A C G的面积 （2 ）如图（2 ） ，若= 1 0 ，求 A F : F C S A H F S D H G （3 ）在（2 ）的条件下，求四边形 C G H F 的面积 1 01 0 如图，A B C的面积是 3 0 ，D 、B是 B C上的三等分点，G 、F 分别是 A B 、A C上的中点，请求出五 边形 O MD E N的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 1 21 2/ 1 21 2 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 11讲比例模型讲比例模型 11 1 31 3/ 1 31 3 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 1 41 4/ 1 41 4 第第 22讲比例模型讲比例模型 22 经典例题经典例题 11 正方形 A B C D中，A M= N B = C F = D E = 1 ，MN = 4 ，连接 A F 、B E 、C M、D N变成四边形 P Q R S ，如图所示 则 四边形 P Q R S 的面积=（第 1 8届华杯赛初赛初二试题） 22 如图，四边形 E F C D是平行四边形如果梯形 A B C D的面积是 3 2 0 ，四边形 A B G H的面积是 8 0 ，那么 三角形 O C D的面积是 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 1 51 5/ 1 51 5 33 如下图所示，三角形 A E F 、三角形 B D F 、三角形 B C D都是三角形，其中 A E : B D = 1 : 3 ，三角形 A E F 的 面积是 6 0 求阴影部分的面积 44 如图，在五边形 A B C D E中，M、N分别是 A B 、A E的中点，四边形 A MP N ，C P D ，D P N的面积分 别是 9 ，6 ，9 ，6 求五边形 A B C D E的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 1 61 6/ 1 61 6 55 图中边上的点均为三等分点，若正方形面积为 1 ，求阴影部分面积？ 66 下图中，A B C D是长为 3 ，宽为 1的长方形，B E = E G = G C ，A H = 2 H D ，A C ，A G ，B H ，E H交成阴影四边 形 P N Q M求四边形 P N Q M的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 1 71 7/ 1 71 7 77 如图所示，正方形 A B C D边长为 8厘米，E是 A D的中点，F 是 C E的中点，G是 B F 的中点，三角形 A B G的面积是多少平方厘米？ 88 梯形 A B C D的面积为 3 6 ，A B = 2 C D ，E为 A C的中点，B E的延长线与 A D交于 F ，四边形 C D F E的面积 是 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 1 81 8/ 1 81 8 99 如图，A B C D是平行四边形，A M= MB ，D N = C N ，B E = E F = F C ，四边形 E F G H的面积为 9 求平行四边 形 A B C D的面积（2 0 1 5年第 2 0届华杯决赛 小高组 A卷） 1 01 0 A B C D是平行四边形，F 在 A D上，三角形 A E F 的面积为 8平方厘米，三角形 D E F 面积是 1 2平方厘 米，四边形 B C D F 的面积是 7 2平方厘米，求三角形 C D E的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 1 91 9/ 1 91 9 1 11 1 如右图所示，点 M是平行四边形 A B C D的边 C D上的一点，且 D M: MC = 1 : 2 ，四边形 E B F C为平行四 边形， F M与 B C交于点 G 若三角形 F C G的面积与三角形 ME D的面积之差为 1 3 c m 2 ， 求平行四边形 A B C D 的面积 1 21 2 平行四边形 A B C D面积为 1 ，A E : E B = 1 : 4 ，三角形 B H C面积为 ，则三角形 A D G面积为 1 8 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 02 0/ 2 02 0 夯实巩固夯实巩固 11 如图，梯形 A B C D的上底 A D长 1 0厘米，下底 B C长 1 5厘米如果 E F 与上、下底平行，那么 E F 的 长度为多少？ 22 如图所示，正方形 A B C D的面积为 1 2 ，A E = E D ，且 B F = 2 F C ，那么A B F 的面积是 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 12 1/ 2 12 1 33 右图中正方形的面积为 1 ，E 、F 分别为 A B 、B D的中点，G C = F C 求阴影部分的面积 1 3 44 如图，长方形 A B C D中，E为 A D中点，A F 与 B E 、B D分别交于 G 、H ，已知 A H = 5 c m，H F = 3 c m，求 A G Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 22 2/ 2 22 2 55 如图，已如正方形 A B C D的边长为 1 0厘米，E为 A D中点，F 为 C E中点，G为 B F 中点，求三角形 B D G的面积是多少平方厘米 66 如图所示，已知平行四边形 A B C D的面积是 6 0 0 ，B 、F 是 A B 、A D的中点，B F 交 E C于 M，求B MG 的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 32 3/ 2 32 3 77 如图，正方形 A B C D面积为 1 0 0 ，A P : P D = 1 : 4 ，A Q : Q C = 3 : 2 则三角形 P B Q面积为多少？ 88 如图，在正方形 A B C D中，E 、F 分别在 B C与 C D上，且 C E = 2 B E ，C F = 2 D F ，连接 B F 、D E ，相交于 点 G ，过 G作 MN 、P Q得到两个正方形 MG Q A和 P C N G ，设正方形 MG Q A的面积为 S1，正方形 P C N G的 面积为 S2，则 S1: S2= Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 42 4/ 2 42 4 99 如图所示，阴影四边形 G H I J 的面积为 2 0 1 6 ，在梯形 A B C D中，底边 C D是 A B的 2倍，E 、F 分别是 两腰上的中点，求梯形 A B C D的面积多少？ 1 01 0 如图，平行四边形 A B C D中，E为 A D中点，F 为 C D中点，G为 B C上的三等分点，已知三角形 D E F 的面积为 2 0 3 0 ，那么阴影部分的面积为 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 52 5/ 2 52 5 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 22讲比例模型讲比例模型 22 2 62 6/ 2 62 6 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 2 72 7/ 2 72 7 第第 33讲勾股弦图讲勾股弦图 经典例题经典例题 11 如图，五边形 A B C D E是左右对称的轴对称图形，已知 A B = 1 3 ，B E = 2 4 ，C E = 2 5 ，C D = 1 6 ，那么五边形 A B C D E的面积是 22 一个测绘员测得由 P点到一个长方形场地 A B C D的 3个顶点的距离：P A = 6 0米，P D = 2 0米，P C = 7 0 米则由测点 P到 B点的距离是米 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 2 82 8/ 2 82 8 33 在等腰梯形 A B C D中，A B平行于 C D ，A B = 6 ，C D = 1 4 ， A E C是直角，C E = C B ，则 A E 2等于（ ） 44 直角三角形 A B C的两直角边 A C = 8 c m，B C = 6 c m，以 A C 、B C为边向形外分别作正方形 A C D E与 B C F G ， 再以 A B为边向上作正方形 A B MN ，其中 N点落在 D E上，B M交 C F 于点 T 问：图中阴影部分（A N E 、 N P D与梯形 B T F G ）的总面积等于多少？ Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 2 92 9/ 2 92 9 55 P是凸四边形 A B C D内的一点，过 P分别作 A B 、B C 、C D 、D A的垂线，A H = 3 ，H D = 4 ，D G = 1 ，C G = 5 ， C F = 6 ，B F = 4 ，且 B E A E = 1 ，求 A B C D的周长 66 （1 ）边长为 1 0的正方形内有 6个小正方形，求每一个小正方形面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 03 0/ 3 03 0 （2 ）如右图，长方形 A B C D中被嵌入了 6个相同的正方形己知 A B = 2 2厘米，B C = 2 0厘米，那么每一 个正方形的面积为平方厘米 （3 ）如图，长方形 A B C D的周长是 2 0厘米，八边形 E F G H I J K L 的面积是 5 7 8平方厘米，八块阴影区域 都是正方形那么长方形 A B C D的面积是多少？ Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 13 1/ 3 13 1 77 如图， 平面上 C D E F 是正方形， A B C D是等腰梯形， 它的上底长 A D为 2 3厘米， 下底长 B C为 3 5厘米 求 三角形 A D E的面积 88 直角三角形 A B C中，D E P为等腰直角三角形，A D = A F = F C = C E ，B E = 3 ，B D = 1 ，求A B C的面积 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 23 2/ 3 23 2 99 如图，以正方形的边 A B为斜边在正方形内作直角三角形 A B E ，A C 、B D交于点 O 已知 A E 、B E的长 分别为 3 c m、5 c m，求三角形 O B E的面积 1 01 0 如图，分别以一个面积为 1 6 9平方厘米的正方形的四条边为底，作 4个面积为 1 0 1 . 4平方厘米的等 腰三角形图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 33 3/ 3 33 3 1 11 1 如图，直角三角形 A B C的两直角边为 1 2和 1 8 ，三角形 B D C为等腰直角三角形，C D = B D ，求图中两 个阴影面积之差是？ 1 21 2 如图，六边形被切割成了两个大小不同的等腰梯形和两个大小相同的正方形如果等腰梯形的各底 长度分别为 2 ，1 ，5 ，请问：这个六边形的面积是多少？ Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 43 4/ 3 43 4 夯实巩固夯实巩固 11 如图所示，已知A B C 、A C D 、A D E 、A E F 都是等腰直角三角形，若它们的总面积是 3 0平方厘 米，则图中阴影部分的面积是平方厘米 22 如下图所示，一个边长为 1 0厘米的正方形木板斜靠在墙角上（木板厚度不计） ，A O距离为 8厘米， 那么点 C距离地面的高度是厘米 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 53 5/ 3 53 5 33 长方形长 2 0 ，宽 1 6 ，中间有 8个相同的正方形，求每个正方形的面积 44 下图由边长为 3和 5的正方形构成，将它割成 3部分，然后拼成一个正方形 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 63 6/ 3 63 6 55 三角形 A B C是等腰直角三角形， B A C = 9 0 点 D是三角形 A B C内一点， 且A D B = 9 0 ， 已知 A D = 6 c m， B D = 1 0 c m，那么三角形 A C D的面积是c m 2 66 如图，直角三角形 A B C中，A B的长度是 1 2厘米，A C的长度是 2 4厘米，D 、B分别在 A C 、B C上那 么等腰直角三角形 B D E的面积是平方厘米 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 73 7/ 3 73 7 77 P为等边三角形 A B C内一点，已知 P A = 3 ，P B = 4 ，P C = 5 ，求A P B度数，简述你的理由 88 如右图，正方形 A B C D的边长为 5 ，E 、F 为正方形外两点满足 A E = C F = 4 ，B E = D F = 3 ，那么 E F 2 = Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 33讲讲勾股弦图勾股弦图 3 83 8/ 3 83 8 99 右图中，两个边长为 8的正方形如图摆放，A 、B为正方形的中心那么，正方形 C D E F的面积 是 1 01 0 如右图所示，A F = 7 c m，D H = 4 c m，B G = 5 c m，A E = 1 c m若正方形 A B C D内的四边形 E F G H的面积为 7 8 c m 2 ，则正方形的边长为c m（2 0 1 4年第 1 9届华杯初赛 小高组 A卷） Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 3 93 9/ 3 93 9 第第 44讲圆扇初步讲圆扇初步 基础知识基础知识 圆的面积= r 2 ；圆的周长= 2 r ；扇形的面积= r 2 ；扇形的弧长= 2 r n 3 6 0 n 3 6 0 3 . 1 4 1 = 3 . 1 4 3 . 1 4 2 = 6 . 2 8 3 . 1 4 3 = 9 . 4 2 3 . 1 4 4 = 1 2 . 5 6 3 . 1 4 5 = 1 5 . 7 3 . 1 4 6 = 1 8 . 8 4 3 . 1 4 7 = 2 1 . 9 8 3 . 1 4 8 = 2 5 . 1 2 3 . 1 4 9 = 2 8 . 2 6 经典例题经典例题 11 （1 ） （1 3届华杯决赛）三个半径为 1 0 0厘米且圆心角为 6 0度的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形 的周长是厘米 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 4 04 0/ 4 04 0 （2 ） 分别以一个边长为 2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心， 以 2厘米为半径画弧， 得到右图； 那么， 阴影图形的周长是厘米 （ 取 3 . 1 4 ） 22 （1 ） （1 6届华杯决赛 C ）在边长为 2厘米的正方形 A B C D中，分别以 A ，B ，C ，D为圆心，2厘米为 半径画四分之一圆，交点为 E F G H ，求阴影部分的周长？（ 取 3 . 1 4 1 ） （2 ）如图，边长为 1 2厘米的正五边形，分别以正五边形的 5个顶点为圆心，1 2厘米为半径作圆弧，请 问：中间阴影部分的周长是多少？（ 3 . 1 4 ） Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 4 14 1/ 4 14 1 33 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是 1 求阴影部分的面积 44 已知右图中正方形的边长为 2 0厘米， 中间的三段圆弧分别以 O1、 O2、 O3为圆心， 求阴影部分的面积（ 3 ） Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 4 24 2/ 4 24 2 55 （2 0 1 5花探初赛）6个半径相等的小圆和 1个大圆如图摆放图中大圆的面积是 1 2 0 ，那么，阴影部 分面积是 66 （第 9届华杯初赛）如图，大小两个半圆，它们的直径在同一直线上，弦 A B与小圆相切，且与直径平 行，弦 A B长 1 2厘米，图中阴影部分的面积是 Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 4 34 3/ 4 34 3 77 如图，A B C D是平行四边形，A D = 8 c m，A B = 1 0 c m， D A B = 3 0 ，高 C H = 4 c m，弧 B E 、D F 分别以 A B 、 C D为半径，弧 D M、B N分别以 A D 、C B为半径，则阴影部分的面积为多少？ 88 奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6厘米，外圆直径为 8厘米的五个环组成，其中 两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是 7 7 . 1平方厘米，求每 个小曲边四边形的面积 （ 取 3 . 1 4 ） Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 4 44 4/ 4 44 4 99 （2 0届华杯初赛 C ）正方形边长 3 0 0厘米，求两块阴影面积差和周长差？（ 取 3 . 1 4 ） 1 01 0 （2 0 1 6花探初赛模拟）右图中，两个小圆的半径均为 2 0 ，并且彼此经过另一个圆的圆心那么，A 区域的面积比 B与 C区域的面积和小 （ 取 3 . 1 4 ） Y J Y集训队五年级 2 0 1 8年秋季讲义第第 44讲讲圆扇初步圆扇初步 4 54 5/ 4 54 5 1 11 1 在埃及，透明六瓣花寓意着和平与圣洁如图，6个半径相等的小圆和 1个大圆组成一个轴对称且 中心对称的图形，连接小圆各圆心形成一个六边形已知圆 A和圆 C的相交于 B点，且三角形 A B C恰好 是直角三角形，A B C = 9 0 若 B C = 1 0 ，那么大圆内阴影面积 S1比大圆外阴影面积 S2大 （ 取 3 ） 1 21 2 （2 0 1 1走美决赛）如图，一个正方形的每条边上的半圆直径都相等，每条边在半圆外的两条线段都 分别长 8厘米、3厘米中间阴影面积减去四个角阴影面积的和，差为