048直线、圆的位置关系(复习设计)(师)

专题048：直线、圆的位置关系（复习设计）考点要求：1考查直线与圆相交、相切的问题能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2考查与圆有关的量的计算，如半径、面积、弦长的计算3会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系4掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想知识结构：1直线与圆的位置关系位置关系有三种：相离、相切、相交判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相交，dr相切，dr相离2圆与圆的位置关系的判定设C1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，C2：(xa2)2(yb2)2r(r20)，则有：|C1C2|r1r2C1与C2相离；|C1C2|r1r2C1与C2外切；|r1r2|C1C2|r1r2C1与C2相交；|C1C2|r1r2|(r1r2)C1与C2内切；|C1C2|r1r2|C1与C2内含3.弦长问题：(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算(2)代数方法运用根与系数关系及弦长公式|AB|xAxB|.说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法4.过两圆交点的圆系方程：已知两圆x2y2D1xE1yF10和x2y2D2xE2yF20相交，则与两圆共交点的圆系方程为_(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0_，其中为1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆当1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.基础自测：1已知圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是()A相切 B相交但直线不过圆心 C相交过圆心 D相离解析由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d.且21(2)50，因此该直线与圆相交但不过圆心答案B2圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40 Cxy40 Dxy20解析圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.答案D3若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1 C3 D3解析由已知得圆的圆心为(1,2)，则3(1)2a0，a1.答案B4圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交 C外切 D内切解析圆O1的圆心为(1,0)，半径r11，圆O2的圆心为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距|O1O2|，而r2r11，r1r23，则有r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相交答案B5直线x2y50与圆x2y28相交于A、B两点，则|AB|_.解析如图，取AB中点C，连接OC、OA.则OCAB，|OA|2，|OC|，|AC|，|AB|2|AC|2.答案2例题选讲：1.直线与圆的位置关系的判定及应用例1：若过点A(4,0)的直线l与曲线(x2)2y21有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A， B(，) C. D.分析： 设出直线l的点斜式方程，构造圆心到直线距离与半径的关系的不等式，从而求解解析设直线l的方程为：yk(x4)，即kxy4k0则：1.解得：k2，即k.答案C小结：已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围学生练习1：（1）直线yax1与圆x2y22x30的位置关系是_相交_（2）若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_(，0)(10，)_ 2.圆与圆的位置关系的判定及应用例2：若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.分析： 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形解得解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a1.答案1小结： 当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长学生练习2：两个圆：C1：x2y22x2y20与C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A1条 B2条 C3条 D4条解析由题知C1：(x1)2(y1)24，则圆心C1(1，1)，C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，两圆半径均为2，又|C1C2|4，则两圆相交只有两条外公切线，故选B.3.直线与圆的综合问题例3：已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程解(1)如图所示，|AB|4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|AC|4.C点坐标为(2,6)在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.当k时，直线l的方程为3x4y200.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.学生练习3：若圆(x3)2(y5)2r2上有且仅有两个点到直线4x3y20的距离为1，则半径r的取值范围是(A)A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6巩固作业：1过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为(D)A. B2 C. D22从圆x22xy22y10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为(B)A. B. C. D03已知圆C1：x2y22mx4ym250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相切，则实数m_2或5或1_.4.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是x+y-3=0 ，过点P的最长弦所在直线方程是 x-y-3=0 5若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_解析：y3变形为(x2)2(y3)24(0x4,1y3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示若直线yxb与曲线y3有公共点，只需直线yxb在图中两直线之间(包括图中两条直线)，yxb与下半圆相切时，圆心到直线yxb的距离为2，即2，解得b12或b12(舍去)，b的取值范围为12b3.答案：12，36.已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24(1)求过M点的圆的切线方程； (2)若直线axy40与圆相切，求a的值；解(1)圆心C(1,2)，半径为r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意有2，解得a0或a.7.a为何值时，圆C1：x2y22ax4ya250和圆C2：x2y22x2aya230(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切解将两圆方程写成标准方程C1：(xa)2(y2)29，C2：(x1)2(ya)24.两圆的圆心和半径分别为C1(a，2)，r13，C2(1，a)，r22，设两圆的圆心距为d，则d2(a1)2(2a)22a26a5.(1)当d5，即2a26a525时，两圆外切，此时a5或a2.(2)当1d5，即12a26a525时，两圆相交，此时5a2或1a5，即2a26a525时，两圆外离，此时a2或a5.(4)当d1，即2a26a51时，两圆内切，此时a1或a2.8一直线经过点P被圆x2y225截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程解(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x3，代入x2y225，得y14，y24.弦长为|y1y2|8，符合题意(2)当斜率k存在时，设所求直线方程为yk(x3)，即kxy3k0. 由已知，弦心距|OM|3， 3，解得k.所以此直线方程为y(x3)，即3x4y150.所以所求直线方程为x30或3x4y150.9.已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0. 由得即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.10.已知平面区域恰