江苏省盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题含答案

盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题 2020.06一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1设全集，集合，则_2设，则_.3双曲线的左焦点到渐近线的距离为_4从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为_5如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是_.7已知是公差不为零的等差数列，为其前项和若成等比数列，且，则数列的前项和为_8已知锐角满足，则_.9已知函数f（x），则函数的所有零点构成的集合为_.10若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是_.11在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m、高为4m的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重_kg.（最后结果保留整数，其中，石料的密度，质量）12如图，在圆的内接四边形ABCD中，对角线BD为圆的直径，点E在BC上，且，则的值为_13已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为_.14在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为_二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本题满分14分)如图，在正三棱柱中，D，E，F分别为线段，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.16(本题满分14分)在中，分别是角，的对边，已知，且.（1）求的值；（2）若，的面积为，求的周长.17(本题满分15分)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?18(本题满分15分)已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的上顶点，直线交椭圆于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交直线于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：（为坐标原点）为定值19(本题满分16分)设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：为定值；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.20(本题满分16分)设，.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学附加试题21【选做题】（每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A选修42：矩阵与变换21已知矩阵（1）求的逆矩阵；（2）求圆经过变换后所得的曲线的方程B选修44：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，O的极坐标方程为（1）写出O的直角坐标方程；（2）P为直线上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22已知（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由.23已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，且满足（1）若直线的斜率为1，求点的坐标；（2）若，求四边形面积的最大值盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学试题 2020.06一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1设全集，集合，则_【答案】【解析】2设，则_.【答案】3【解析】，则3双曲线的左焦点到渐近线的距离为_【答案】4【解析】根据题意，双曲线的方程为，其中，所以，所以其左焦点的坐标为，渐近线方程为，即，则左焦点到其渐近线的距离为，4从中选个不同的数字组成一个两位数，这个两位数是偶数的概率为_【答案】【解析】列举法：12，21，13，31，23，32，一共6种可能，其中偶数2种，概率为5如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 【答案】【解析】得分的平均分为,方差.6阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是_.【答案】240【解析】执行程序框图，有，；不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；满足条件，退出循环，输出.7已知是公差不为零的等差数列，为其前项和若成等比数列，且，则数列的前项和为_【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，所以，整理得，则，8已知锐角满足，则_.【答案】2【解析】，化简得，两边同时除以得，为锐角，0 解得，.9已知函数f（x），则函数的所有零点构成的集合为_.【答案】1，3，9【解析】由得f（f（x）1，设tf（x），则等价为f（t）1，当x1时，由f（x）x1得x1，当x1时，由f（x）log2（x1）1得x3，即t1或t3，当x1时，由f（x）x1，得x1；由f（x）x3，得x3（舍），故此时x1；当x1时，由f（x）log2（x1）1得x3；由f（x）log2（x1）3，得x9，综上x1，或x3或x9所以函数yff（x）1的所有零点所构成的集合为：1，3，910若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是_.【答案】【解析】依题意得：设因为，则所以得，即当且仅当时，即时，取得最大值为，又因为恒成立，即，得，即的取值范围为.11在日常生活中，石子是我们经常见到的材料，比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子，它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m、高为4m的正四棱柱形的石料中，雕出一个四棱锥和球M的组合体，其中O为正四棱柱的中心，当球的半径r取最大值时，该雕刻师需去除的石料约重_kg.（最后结果保留整数，其中，石料的密度，质量）【答案】【解析】依题意知，正四棱柱的体积.四棱锥的底面为正方形，高，所以其体积.球M的半径r最大为1，此时其体积.故该雕刻师需去除的石料的体积.又，所以该雕刻师需去除的石料的质量为.12如图，在圆的内接四边形ABCD中，对角线BD为圆的直径，点E在BC上，且，则的值为_【答案】【解析】因为点E在BC上，且，所以易知，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由，得，又对角线BD为圆的直径，所以，由，可得所以，则13已知函数，曲线上总存在两点，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为_.【答案】【解析】，由题意可得，即，化简可得，即，而，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，所以，因此，的取值范围为.14在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为_【答案】【解析】 （当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得， 又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本题满分14分)如图，在正三棱柱中，D，E，F分别为线段，的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面.【解析】（1）如图，取的中点G，连结，.因为F为的中点，所以.在三棱柱中，且E为的中点，所以.所以四边形是平行四边形.所以.因为平面，平面，所以平面.（2）因为在正三棱柱中，平面，平面，所以.因为D为的中点，所以.因为，平面，平面，所以平面.因为平面，所以.根据题意，可得，所以.从而，即.因为，平面，平面，所以平面.16(本题满分14分)在中，分别是角，的对边，已知，且.（1）求的值；（2）若，的面积为，求的周长.【解析】（1），由正弦定理可得，即.，.，.，.（2）根据余弦定理可知，即.的面积为，.故的周长为.17(本题满分15分)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【解析】（1）由已知 (2)由(1)得 当时，；当时， 当且仅当时，即时等号成立因为，所以当时，当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元18(本题满分15分)已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的上顶点，直线交椭圆于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交直线于两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求证：（为坐标原点）为定值【解析】（1）据题设知，点在直线上，得又因为，所以，所以所求椭圆的标准方程为（2）设，则有直线的方程为令，整理得同理可得点纵坐标，所以点的纵坐标之积又因为，所以，所以，即（为坐标原点）为定值19(本题满分16分)设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：为定值；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.【解析】（1）当时，解得.当时，即.因为，所以，从而数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）因为，所以，故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，从而，所以.（3）假设中存在第项成等差数列，则，即.因为，且，所以.因为，所以，故矛盾，所以数列中不存在三项成等差数列.20(本题满分16分)设，.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【解析】（1）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，所以，令，解得（舍去），或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.盐城市第一中学2019-2020届高三调研考试数学附加试题21【选做题】（每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A选修42：矩阵与变换21已知矩阵（1）求的逆矩阵；（2）求圆经过变换后所得的曲线的方程【解析】（1）由条件且，可得；（2）设变换后新曲线上任一点，变换前对应点，则，即，所以，代入得：，所以曲线经过变换后所得曲线的方程为.B选修44：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，O的极坐标方程为（1）写出O的直角坐标方程；（2）P为直线上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标【解析】（1）由得，即的直角坐标方程为，即；（2）设点坐标为，到圆心的距离，当时，到圆心的距离取最小值，此时.【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22已知（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由.【解析】（1）取，可得，对等式两边求导，得，取，则.（2）要比较与的大小，即比较：与的大小，当时，；当时，；当时，；当时，猜想：当时，下面用数学归纳法证明：（i）