2021概率统计全考点精讲第二讲 随机变量及其分布

概率统计全考点精讲 张张 卫卫 1 第二讲第二讲 随机变量及其分布随机变量及其分布 【考试要求考试要求】 1.理解随机变量的概念，理解分布函数( )()F xP Xxx= +的概 念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布、二项分布 ( , )B n p、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布( )P及其应用. 3.（数一了解，数三掌握数一了解，数三掌握）泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表 示二项分布. 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布( , )U a b、正态分 布 2 ( ,)N 、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布( )E的概率密度为 ( ) e,0 0,0 x x f x x = . 5.会求随机变量函数的分布. 考点：随机变量与分布函数考点：随机变量与分布函数 1.1.随机变量随机变量：设试验E的样本空间为，如果对于每一个样本点，都有 一个实数)(X与之对应，则称定义在上的单值实值函数)(X为随机变量随机变量，简 记为X. 通常用, ,X Y Z等表示随机变量. 【注注】随机变量的等式和不等式可表示随机事件. 2.2.分布函数分布函数 （1）定义定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，称 ( )()F xP Xxx= +为X的分布函数分布函数. （2）基本性质基本性质 单调不减，即若 12 xx，则 12 ( )()F xF x； 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 2 lim ( )0 x F x = ，lim ( )1 x F x + = ； ( )F x是右连续，即(0)( )F xF x+=. 【注【注】这三条性质是一个函数作为某随机变量的分布函数的充分必要条件. （3）其他性质其他性质（用分布函数( )F x求概率） )()(aFbFbXaP=； )0(=aFaXP； ； )0()(=aFaFaXP； )0()0(=aFbFbXaP ； )()0(aFbFbXaP=； ( )(0)P aXbF bF a= . 【注注】分布函数在处连续. 【例例 1 1】 下述函数中，可以作为某个随机变量的分布函数的是（ ） （A） ( ) 2 1 1 F x x = + （B）( )xxFsin= （C） ( ) 11 arctan 2 F xx=+ （D） ( ) 1 e ,0 2 0,0 x x F x x = 【例例 2】 设随机变量X的分布函数为( ) 00 sin 0 2 1 2 ,x F xAx,x ,x = ，则 A_=， 6 PX_ = . 【例例 3】 已知随机变量X的分布函数为( ) 0,1 1 ,1 8 , 11 1,1 x x F x axbx x = = + ，且 ( )F x a 0P Xa= 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 3 1 1 4 P X =，则_,_ab=. 【例例 4】 设随机变量X的分布函数为 = 1,1 10, 2 1 0, 0 )( xe x x xF x ，则 1P X =（ ） （A）0 （B） 2 1 （C） 1 2 1 e （D） 1 1 e 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 4 考点：考点：离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 1 1. .离散型随机变量离散型随机变量 定义定义： 若随机变量X所有可能取值是有限或可列无限个， 则称X为离散型随机离散型随机 变量变量. 2 2. .分布律分布律 （1）定义定义：设离散型随机变量X的所有可能取值为()1 2 i x i, ,=，且X取 i x 的概率为 i p，则称()1 2 ii P Xxp i, ,=为离散型随机变量X的分布律分布律. X的分布律也可以用表格表示. X 12n xxx P 12n ppp （2）基本基本性质性质：0,1,2, i pi=； 1 1 i i p = = . 【注【注】这两条性质也是一个数列可以作为某随机变量分布律的充分必要条件. 3.3.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数 若离散型随机变量X的分布律为()1 2 ii P Xxp i, ,=， 则X的分布函 数为 ( )() ii ii xxxx F xP XxP Xxpx = + . 若 123 xxx，则( ) 1 112 1223 0, , , xx pxxx F x ppxxx = + . 【注注】若已知X的分布函数( )F x（阶梯函数阶梯函数） ，则X的分布律为 ( )()0 iii P XxF xF x=，1 2i, ,=. 【例例 1 1】 （1）做n次伯努利实验，已知每次成功的概率均为()10 pp，令 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 5 X表示n次试验中成功的次数，求X的分布律. （2）做伯努利试验，已知每次成功的概率均为()10 pp，令X表示直到第 一次成功为止所进行的实验次数，求X的分布律. 【例例 2 2】 设袋中有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，从中任取 3 个球，用X 表示 3 个球中新球个数，求X的分布律与分布函数. 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 6 考点：连续型随机变量及其分布考点：连续型随机变量及其分布 1 1. .连续型随机变量连续型随机变量及其及其概率密度概率密度 （1）定义定义：设随机变量X的分布函数为( )F x，若存在非负可积函数( )f x， 使得对于任意实数x，有( )( ) x F xf t dt =，则称X为连续型随机变量连续型随机变量，( )f x称 为X的概率密度函数概率密度函数，简称概率密度概率密度（简写为. f . d . p）. 【注】只有存在概率密度的随机变量才能称为连续型随机变量，分布函数连 续的随机变量不一定是连续型随机变量. 存在既非连续型又非离散型的随机变量. ( ),( ) ( ) 0( ) F x xF x f x xF x = 为的可导点 ， 为的不可导点 . （2）概率密度的基本性质概率密度的基本性质：( )0f x ；( )1f x dx + = . 【注【注】这两条性质是一个函数可以作为概率密度函数的充分必要条件. （3）连续型随机变量的其他性质连续型随机变量的其他性质： )(xF处处连续. 对()+,a，有. 0= aXP 若( )f x在x处连续，则有( )( )F xf x = . 对于任意的实数() 1212 x ,xxx，有 ()( ) 2 1 1221 ( ) x x P xXxF xF xf x dx=. 【例例 1 1】 设随机变量X的概率密度为( )xf，则下列函数中必为某随机变量的 概率密度的是（ ） （A）( )xf2 （B）()xf 2 （C）()xf1 （D）( )xf1 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 7 【例例 2 2】 设随机变量X的概率密度为( ) cos ,| 2 0,| 2 Ax x fx x = ，求 （1）常数A； （2）X的分布函数为( )xF. 【例例 3 3】 设随机变量X的概率密度为( ) 1 |,| 1 0, xx f x else = ，则 _ 4 1 2= XP. 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 8 考点：常见分布考点：常见分布 1.1.常见的离散型随机变量常见的离散型随机变量 （1） 0-1 分布分布 若随机变量X的分布律为()() 1 10 1 01 k k P Xkpp,k,p =，则 称X服从 0-1 分布，记为), 1 (pBX. （2） 二项分布二项分布 若随机变量的分布律为C(1),0,1,2, kkn k n P Xkppkn =，其中 01p，则称X服从二项分布，记为( , )XB n p. （3） 几何分布几何分布 若随机变量X的分布律为 1 (1)kP Xkpp =，1,2,3k =，其中 01p，则称X服从参数为p的几何分布，记为( )X G p. （4） 超几何分布超几何分布（从未考过）（从未考过） 若随机变量X的分布律为 C C C kn k MN M n N P Xk =，其中Nk，且 nMkNnM,min, 0max+，则称X服从超几何分布. 【注注】 ：此公式的数学模型为：设 N 件产品中含 M 件次品，现从中任取 n 件产 品，则所取的 n 件产品恰有 k 件次品的概率. （5） 泊松分布泊松分布 定义定义 若随机变量X的分布律为e ! k P Xk k =， 0,1,2,k =，其中0，则 称X服从参数为的泊松分布，记为( )XP. X 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 9 泊松定理泊松定理（数一了解；数三掌握数一了解；数三掌握） 设0是一个常数，n是任意正整数，若limn n np = ，则对于任意的非负整 数k，有 () e lim1. ! n k n k kk nn n C pp k = 【注】当n很大，p很小， ()1 ! k n k kk n e P XkC pp k =，其中 np=. 【例例 1 1】 设随机变量X服从参数为()2, p的二项分布，随机变量Y服从参数 为()3, p的二项分布，若 5 1 9 P X =，则1_P Y =. 【例例 2 2】 设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没 有汽车通过的概率为 1 e ，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为_. 2.2.常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量 （1） 均匀分布均匀分布 若X的概率密度为 1 , ( ) 0, axb f xba = 其它 ，则称X在()a,b上服从均匀分 布，记为(),X U a b，其分布函数为 0, ( ), 1, xa xa F xaxb ba xb = . （2） 指数分布指数分布 若X的概率密度为 e,0 ( ) 0,0 x x f x x = ，其中0，则称 X 服从参数为 的指数分布，记为( )XE，其分布函数为 1 e,0 ( ) 0,0 x x F x x = . （3） 正态分布正态分布 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 10 若随机变量X的概率密度为 2 2 () 2 1 ( )e() 2 x f xx = +，其中 0,与均为常数，则称X服从参数为 , 的正态分布，记为 2 ( ,)XN ，其分布函数为 2 2 () 2 1 ( )ed () 2 t x F xtx = + . 特别地，当0,1=，即(0,1)XN，称X服从标准正态分布标准正态分布，其概率 密度为 2 2 1 ( )e, 2 x xx = +，分布函数 2 2 1 ( )ed 2 t x xt =， x+. 【注】 （1）指数分布的指数分布的无记忆性无记忆性：若( )XE，则对任意的0,0st，有 |.P Xst XsP Xt += （2）( )f x的图像关于x = 对称，且有 1 2 P XP X= . 标准正态分布的对称性对称性 1 (0),()1( ) 2 aa= = . 正态分布的标准化正态分布的标准化. 若 2 ( ,)XN ，则(0,1) X N ， 21 12 ()() xx P xXx = . 【例例 3 3】 设随机变量()6 , 1UX，则方程01 2 =+ Xyy有实根的概率为 _. 【例例 4 4】 设随机变量()2,5X U，现对X进行三次独立重复观测，求至少有 两次观测值大于 3 的概率. 【例例 5 5】 设随机变量Y服从参数为 1 2 =的指数分布，求关于未知量x的方程 2 230 xYxY+=没有实根的概率. 【例例 6 6】 设随机变量的概率密度函数为 ( ) 2 21 e() xx f xkx + = + X 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 11 则常数=_k. 【例例 7 7】 设随机变量() 2 2,XN且240.3PX=，则 0_P X =. 【例例 8 8】 设随机变量() 2 ,XN ，则概率P X的值随着的 增大而（ ） （A）增大 （B）减小 （C）保持不变 （D）无法确定 爱启航在线考研 20考研全程课程SVIP服务包，请关注微信公众号【拼课助手】 概率统计全考点精讲 张张 卫卫 12 考点：考点：随机变量函数的分布随机变量函数的分布 1.1.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 设X为离散型随机变量，其概率分布为,1,2, ii P Xxp i=，函数 ( )g x连续，则随机变量()Yg X=的分布律为 () ,1,2, ik ki g xy P Yyp k = = . 做法做法：找到Y全部可能的取值，算出相应值的概率. 【例例 1 1】 设随机变量X在()1,2上服从均匀分布， 1,0 1,0 X Y X = ，求Y的 分布律. 【例例 2 2】 （课后作业课后作业）设随机变量X的概率分布为 ，求常数和的概率分布. 2 2. .连续型连续型随机变量函数的分布随机变量函数的分布 情形一：情形一：Y为离散型为离散型. . 做法做法：找到Y