第7章-状态变量分析法

*第七章状态变量分析法,7.1连续系统状态方程与输出方程的建立7.2连续时间系统状态方程的s域分析法7.3离散系统状态方程与输出方程的建立7.4离散系统状态方程的z域分析法7.5系统的可控制性与可观测性,7.1连续系统状态方程与输出方程的建立,7.1.1由系统的直接形式信号流图建立状态方程描述单输入单输出n阶连续系统输入f(t)与输出y(t)关系的微分方程为,(7.1-1),算子方程为,(7.1-2),对应的n阶连续系统的转移算子函数为,对应的系统函数为,(7.1-3),(7.1-4),图7.1-1式(7.1-2)的信号流图表示,1.由系统的直接（微分方程）形式信号流图建立状态方程的一般方法（1）从右向左按顺序在积分器p-1的输出端建立状态变量xi，p-1的输入端为由于xi顺序相差90，因此这种状态变量也称其为相位状态变量。（2）列出积分器输入节点与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵表示。（3）列出输出信号y(t)与状态变量xi和输入f(t)的关系，并用矩阵方程表示。,用上述方法对图7.1-1的系统流图，讨论状态方程与输出方程的建立。先由n个积分器，如图7.1-1所示，列出n个状态变量x1(t)、x2(t)、,xn(t)（图中省略了状态变量中的自变量符号(t)），然后再列积分器输入节点的方程:,(7.1-5),输出为,(7.1-6),将式(7.1-5)、(7.1-6)分别写成矩阵形式,(7.1-7),(7.1-8),或,式(7.1-7)表示了状态变量x1(t)、x2(t)、,xn(t)与输入f(t)之间的关系，是图7.1-1系统的状态方程。式(7.1-8)表示了输出y(t)与状态变量x1、x2、,xn之间的关系，是图7.1-1系统的输出方程。式(7.1-7)与式(7.1-8)还可用矢量矩阵表示为,(7.1-9),式中,(7.1-10),式(7.1-9)是图7.1-1的状态方程的一般形式，A、B、C、D是状态方程的系数矩阵。当式(7.1-1)中的输入情况不同时，A与B矩阵相同，而C与D矩阵会有变化，尤其是b0=0，可使C的元素计算大大简化。例如,(7.1-11),式(7.1-11)是式(7.1-1)除bn=1之外，其余bk(k=0n-1)为零的特例，它的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为,C=1000，D=0,(7.1-12),若式(7.1-1)中分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且mn，则,(7.1-13),其对应的A与B矩阵与式(7.1-10)相同，而C与D矩阵分别为,C=bnbn-1bn-m00，D=0,(7.1-14),由以上的方法，当n阶连续系统的微分方程给定，无需绘出系统的信号流图，利用式(7.1-7),(7.1-8)或式(7.1-13)、(7.1-14)可直接写出系统函数的状态方程与输出方程。尤其是分子多项式的次数为m，分母多项式的次数为n，且m1，所以该系统不稳定。,A矩阵是NN的矩阵，当N较大时，由detzI-A求出A(z)，再求特征值也不容易。而利用MATLAB程序可以很方便地由A矩阵求出A(z)的特征根，即系统的极点。,已知某系统的A参数矩阵为，求系统极点（矩阵的特征值）的MATLAB程序及结果为,A=1.25-0.750.125;100;010;%A矩阵eig(A)%A矩阵的特征根ans=0.5000+0.5000i0.5000-0.5000i0.2500可知系统在单位圆内有一对共轭极点和一个单极点，是稳定系统。,7.5系统的可控制性与可观测性,例7.5-1已知某系统的并联流图及状态变量如图7.5-1所示。试求系统的状态方程与输出方程，并讨论激励f(t)对各状态变量的控制情况，以及由输出观测各状态变量的情况。解系统的状态方程与输出方程为,将上式分别写成矩阵形式,四个参数矩阵分别为,图7.5-1例7.5-1系统流图,7.5.1系统的可控性及其判别法可控性定义：若给定系统的任意初始状态，通过输入量（控制矢量）的作用，能在有限时间之内将系统所有状态引向（转移至）状态空间的原点（零状态），则该系统是完全可控的，如果只能使部分状态变量做到，则该系统是不完全可控的。除了当A矩阵是对角矩阵时，可检查B矩阵是否有零元素。下面给出更一般的单输入可控阵满秩判别法。设n阶LTI系统的状态方程为,式中,A是nn阶矩阵，B是n1阶矩阵，该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵M满秩，即,rankM=n,其中,(7.5-1),(7.5-2),式(7.5-1)、(7.5-2)不仅对连续系统适用，对离散系统也适用。即n阶单输入LTI离散系统的状态方程为w(n+1)=Aw(n)+Bx，则该系统完全可控的充要条件是可控性判别矩阵M满秩，即,rankM=n,其中,例7.5-2判断下列给定系统的可控性。,(1),(2),(3),解(1),rankM1=2,系统是完全可控的。,(2),rankM2=1,系统不是完全可控的。,(3),rankM3=2,系统是完全可控的。,利用MATLAB可方便地计算系统的可控性，计算本题各系统可控性的MATLAB程序与结果如下。A1=01;-2-4;%例7.5-2(1)的A矩阵B1=01;%例7.5-2(1)的B矩阵Co1=ctrb(A1,B1)%例7.5-2(1)的可控性A2=22;0-2;%例7.5-2(2)的A矩阵B2=10;%例7.5-2(2)的B矩阵Co2=ctrb(A2,B2)%例7.5-2(2)的可控性A3=01;-10;%例7.5-2(3)的A矩阵B3=12;%例7.5-2(3)的B矩阵Co3=ctrb(A3,B3)%例7.5-2(3)的可控性,答案Co1=011-4Co2=1200Co3=122-1,7.5.2系统的可观性及其判别法可观性定义：若给定系统的控制后，能在有限时间之内由系统输出惟一确定系统的所有初始状态，则该系统是完全可观的，如果只能确定部分初始状态，则该系统是不完全可观的。除了当A矩阵是对角矩阵时，可检查C矩阵是否有零元素。下面给出单输入单输出系统更一般的可观性满秩判别法。设n阶LTI系统的输出方程为,该系统是完全可观的充要条件是可观性判别矩阵N满秩，即,rankN=n,其中,(7.5-3),(7.5-4a),例7.5-3判断下列给定系统的可观性。,解(1),rankN=2，系统是完全可观的。,(2),rankN=1，系统是不完全可观的。,rankN=2，系统是完全可观的。,利用MATLAB可方便地计算系统的可观性，计算本题各系统可观性的MATLAB程序与结果如下:A1=01;-2-4;C1=01;Ob1=obsv(A1,C1)A2=22;0-2;C2=01;Ob2=obsv(A2,C2)A3=01;-10;C3=01;Ob3=obsv(A3,C3),答案Ob1=01-2-4Ob2=010-2Ob3=01-10,7.5.3系统函数与系统的可控、可观性系统传递函数H(s)是系统分析中的重要概念，在单输入单输出情况下它与状态参数矩阵的关系为H(s)=C(sI-A)-1B+d要讨论系统的可控、可观性，由前分析可知最直观的是A参数矩阵为对角阵，此时B阵的零元素对应不可控的状态变量，C阵的零元素对应不可观的状态变量。但一般所给定的A参数矩阵未必是对角阵，所以这时有规范化的问题。由7.1节知道相同的传递函数，由于所设置的状态变量不同，其参数矩阵也就不同。因此一个系统可有若干不同的状态方程和输出方程，或者说系统传递函数H(s)在线性变换下保持不变，即,(7.5-5),例7.5-4已知某系统的状态方程和输出方程为,y(t)=x1-x2+x3,（1）讨论系统的可控、可观性；（2）求该系统的系统传递函数；(3）讨论不可控与不可观的状态变量情况。解（1）将上式分别写成矩阵形式,代入式(7.5-2)，得,M的第二行与第三行相同，rankM=23，所以系统是不完全可控的。,代入式(7.5-4)，得,N的第二列乘以-1后与第三列相同，rankN=23，所以系统是不完全可观的。计算本题系统可控性与可观性的MATLAB程序与结果如下。a=-100;1-40;1-1-3;b=100;c=1-11;co=ctrb(a,b)ob=obsv(a,c),答案co=1-1101-501-5ob=1-11-13-31-99,（2）该系统的系统传递函数,本题由参数方程计算系统函数的MATLAB程序与结果如下。A=-100;1-40;1-1-3;B=100;C=1-11;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D),答案num=01.00007.000012.0000den=181912,（3）要讨论系统的不可控与不可观的状态变量情况，须先将原状态方程矩阵变换为规范化矩阵即对角矩阵。由特征矢量求出其对角化的变换矩阵为,设新的状态变量为w，则系统的对角化方程为,图7.5-2例7.5-4系统流图,对角化后的系统函数为,通过以上分析可见，当系统具有不可控、不可观的状态变量时，则系统传递函数的零、极点会有相互抵消现象，这表明仅用系统传递函数描述一个系统有时并不全面。,本题系统函数对角化的MATLAB程序与结果如下：A=-100;1-40;1-1-3;%系统的A矩阵P1,A1=eig(A)%变换逆矩阵与对角化的A矩阵答案P1=000.904500.70710.30151.00000.70710.3015A1=-3000-4000-1,P1的逆阵运算为inv(P1)ans=-0.0000-1.00001.0000-0.47141.4142