01 一类有规律的数求和与整数和整除自招B --教师版VIP

1 / 5 第一讲 一类有规律的数的求和和整数与整除 1. 计算：4593 解：解： 1 1 n aand， 1 1 n naad， 1 2 nn Saan， n93390，S ， n93390，S1919(493)9024365。 (493)9024365。 2. 计算：26101490 解： n(902)4123，S解： n(902)4123，S2323(290)2321058。 (290)2321058。 3. 一个数列,从第 3 项起,每一项都等于其前面两项的和。这个数列的第 2 项为 39,第 10 项为 2009， 求前 8 项的和。 解：分析：第 1 项=第 3 项-第 2 项； 第 2 项=第 4 项-第 3 项； 第 3 项=第 5 项-第 4 项； 第 4 项=第 6 项-第 5 项； 第 5 项=第 7 项-第 6 项； 第 6 项=第 8 项-第 7 项； 第 7 项=第 9 项-第 8 项； 第 8 项=第 10 项-第 9 项； 所以前 8 项的和=第 10 项-第 2 项，即 2009-39=1970。 解：分析：第 1 项=第 3 项-第 2 项； 第 2 项=第 4 项-第 3 项； 第 3 项=第 5 项-第 4 项； 第 4 项=第 6 项-第 5 项； 第 5 项=第 7 项-第 6 项； 第 6 项=第 8 项-第 7 项； 第 7 项=第 9 项-第 8 项； 第 8 项=第 10 项-第 9 项； 所以前 8 项的和=第 10 项-第 2 项，即 2009-39=1970。 4. 下列方阵中共有 100 个数，求它们的和。 1，2，3，10 2，3，4，11 10，11，12，19 解：因为第 1 排数的和为 1+2+3+10=（1+10）210=55，所以第 2 排数的和为 55+10=65，第 3 排数的和为 65+10=75，因此这些数的总和为： 55+65+75+（55+910）=55+65+75+145=（55+145）210=1000 解：因为第 1 排数的和为 1+2+3+10=（1+10）210=55，所以第 2 排数的和为 55+10=65，第 3 排数的和为 65+10=75，因此这些数的总和为： 55+65+75+（55+910）=55+65+75+145=（55+145）210=1000 5. 有一列数：1，101，100，99，1，98，97，96，1，95，94，93，1，求从第一个数起到第 122 个数，这 122 个数的和是多少？ 解： 1，101，100，99 1，98，97，96 1，95，94，93 1224302，a 解： 1，101，100，99 1，98，97，96 1，95，94，93 1224302，a5151101(311)311，n330191 S 101(311)311，n330191 S202202311(10111)9125127 311(10111)9125127 2 / 5 6. 计算：12+34+20072008+2009 解：原式（2009-2008）+（2007-2006）+（5-4）+（3-2）+1=1+1+1+1+1=1005 解：原式（2009-2008）+（2007-2006）+（5-4）+（3-2）+1=1+1+1+1+1=1005 7. 下列括号中的第 20 个括号中的第 5 个数为多少？(1)、(3,5)、(7,9,11)、 解：分析：因为前 19 个括号中有 1+2+3+19=190 个奇数，所以第 20 个括号中的第 5 个数就是整个 奇数数列中的第 195 个数，从而 1952-1=389，因此，所求的数是 389。 解：分析：因为前 19 个括号中有 1+2+3+19=190 个奇数，所以第 20 个括号中的第 5 个数就是整个 奇数数列中的第 195 个数，从而 1952-1=389，因此，所求的数是 389。 8. 设有如下的一列数： 1 5 , 2 4 , 3 3 , 4 2 , 5 1 , 1 4 , 2 3 , 3 2 , 4 1 , 1 3 , 2 2 , 3 1 , 1 2 , 2 1 , 1 1 从左向右数， 15 3 是第几个 数？ 解：分析：规律： （解：分析：规律： （ 1 1 ） ， （ ） ， （ 2 1 ， 1 2 ） ， （） ， （ 3 1 ， 2 3 ， 1 3 ） ， （） ， （ 4 1 ， 3 2 ， 2 3 ， 1 4 ） ， 组数=分子+分母-1，由 3+15-1=17，则 ） ， 组数=分子+分母-1，由 3+15-1=17，则 15 3 是第 17 组中第 3 个， 1+2+3+4+16+3=139（个） 。 所求是第 139 个数。 是第 17 组中第 3 个， 1+2+3+4+16+3=139（个） 。 所求是第 139 个数。 9. 有一楼梯共10级，如规定每步只能跨越一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同的路线？ 菲波那契 3 / 5 【除、除以、整除、除尽】【除、除以、整除、除尽】 0 和正整数统称为自然数自然数.正整数、0、负整数，统称为整数整数. 整数 a 除以整数 b(0)b ，如果商 为整数且余数为 0，则称 a 能被 b 整除，或称 b 能整除 a. 除尽是数 a 除以数 b（b0）时，所得的 商是整数，或有限小数，我们就说 a 能被 b 除尽（或说 b 能除尽 a）. 【因数与倍数】【因数与倍数】 若整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫 b 的倍数，b 叫 a 的因数（或约数）. 一个数的因数的个数是有 限的，一个数的最小因数是 1，最大的因数是它本身. 一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小 倍数是它本身，没有最大倍数. 一个数的最大因数和最小倍数相等，就是它本身. 【被【被 2,3, 5,9 整除的数】整除的数】 （1） 2（或 5）的倍数：个位数是 2（或 5）的倍数； （2） 3（或 9）的倍数：各个数位上的数字之和是 3（或 9）的倍数； 【被【被 4,8 整除的数】整除的数】 （1） 4（或 25）的倍数：末两位上的数字是 4（或 25）的倍数； （2） 8（或 125）的倍数：末三位上的数字组成的数是 8（或 125）的倍数； 【奇偶性】【奇偶性】 偶数和奇数：能被 2 整除的整数叫偶数；不能被2整除的整数叫奇数. 若n为整数，则2n为偶数，21n或21n为奇数. 【被【被 7,11,13 整除的数】整除的数】 （1）11 的倍数：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数； （2）一个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 7,11 或 13 整除，这个数就能被 7,11 或 13 整除. 4 / 5 1. 4.8 0.224，所以说4.8能被0.2 除尽 .（填“整除”或“除尽”或“除不尽”） 2. 6 可以被 4 个自然数整除，6 可以整除 无数个 个自然数. 3. 判断正误： 1）因为2173，所以 21 是倍数，7 是因数. （ ） 2）两个正整数，甲数比乙数大，则甲数的因数个数比乙数的因数个数多. （ ） 3）若 a 是 b 的因数，则ba的商也是 b 的因数. （ ） 4）一个正整数的最小因数和最大因数的积等于它的最小倍数. （ ） 解：错，错，对，对 4. 1100 中，既是 2 的倍数，又是 3 的倍数的数有 16 个. （共 16 个，即满足不大于100 2 16 63 的最大整数） 5. 将一个数的所有因数两两求和分别是 4、6、8、10、12、16、18、20、22、24、26、28、36、38、 40、42、50、56、106、108、110、112、120、126、140，可以推得，这个数的所有正因数中，最 小的两个是 ，这个数是 . 解：设这个数为a，最小的约数是 1，所以第二小的约数是413 ，则两个最大的约数是 140 3 a a，所以105a. 6. 将一个偶数的所有因数按照从小到大排列，若较大的两个因数的和为 900，则这个偶数 是 . 解：600 7. 不超过 1000，是偶数但不含因数 5 的正整数一共有 个. 解： 400 个. 8. 42 3x能被 3 整除，则满足条件的 x 的值有 个. 解：0,3,6,9 9. 能同时被 2、3、5 整除的最大四位数和最小三位数之间的差为 . 解：9870. 10. 5 个连续奇数的和为 505，则最小的那个奇数为 . 解：97 5 / 5 11. 有一个六位数， X 是大于 0 而小于 10 的自然数， y 为 0， 一定能同时被 2、 3、 5 整除的数是 （ ） A、xyxyxx B、xyyxxy C、xxxxyy D、xyyyyy 解：B. 12. 从 0，1，2，3，4，5，7 中，选出四个不同的数字组成一个能同时被 2，3，5 整除的四位数，其中 最大的一个是多少？ 13. 设数字 1，2，3，9 的任一排列为 1 a， 2 a， 9 a，求证： 129 129aaa是一个 偶数. 解：显然 129 12.90aaa，9 个数的和为偶数，故这 9 个数中至少有一个是偶 数，