三角函数与二次函数专题

三角函数与二次函数专题一解答题（共30小题）1（2012泾川县校级模拟）计算：（1）（2）2（1998四川）求的值3（2013常德）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C=45，sinB=，AD=1（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值4（2013渝中区校级模拟）如图，在ABC中，C=30，ADBC于D，cosB=，BD=6，求DC的长（结果保留根号）5（2013重庆模拟）如图，在RtABC中，C=90，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设CAD=a（1）求sina、cosa、tana的值；（2）若B=CAD，求BD的长6（2013南岸区校级模拟）如图，AD是ABC中BC边上的高，且B=30，C=45，CD=2求BC的长7（2011枣庄）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=AD=6，DEDC交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连接EF（1）证明：EF=CF；（2）当tanADE=时，求EF的长8（2013娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：）9（2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）10（2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）11（2011宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图已知，斜屋面的倾斜角为25，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）12（2011巴中）某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为30，同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m求旗杆AB的高度（结果精确到1m）（提示：同一时刻物高与影长成正比参考数据：1.414.1.732.2.236）13（2011通州区二模）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图 ），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：）14（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由15（2015阜新）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且SAOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQx轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值16（2015内江）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NPx轴于点P，设点N的横坐标为t（t2），求ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若t2且t0时OPNCOB，求点N的坐标17（2015宁德）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若ACB=PAB，求点P的坐标18（2015德阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，且OC=OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标19（2015青海）如图，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C该抛物线的顶点为M（1）求该抛物线的解析式；（2）判断BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由20（2015广元）如图，已知抛物线y=（x+2）（xm）（m0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题：求出ABC的面积；在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；（3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由21（2015赤峰）已知二次函数y=ax2+bx3a经过点A（1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由22（2015鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B（1）直接写出点B的坐标；求抛物线解析式（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC求PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由23（2015大庆）已知二次函数y=x2+bx4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tanACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数x1、x2（x1x2），当x1xx2时，y的取值范围为y？若存在，直接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由24（2015曲靖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ly轴于点B（0，2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与P的位置关系，并说明理由25（2015葫芦岛）如图，直线y=x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由26（2015安顺）如图，抛物线y=ax2+bx+与直线AB交于点A（1，0），B（4，），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标27（2015深圳）如图1，关于x的二次函数y=x2+bx+c经过点A（3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2SFBC=3SEBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由28（2015潍坊二模）已知：m、n是方程x26x+5=0的两个实数根，且mn，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；（注：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（3）P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于H点，若直线BC把PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标29（2015剑川县三模）已知：如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；（3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由30（2015潍坊模拟）如图1，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tanACO=（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，求点E的坐标（3）平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求圆的半径（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积 参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2012泾川县校级模拟）计算：（1）（2）【考点】特殊角的三角函数值；零指数幂；二次根式的混合运算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）把tan30=，sin60=，cos60=代入，然后分母有理化后合并同类二次根式即可；（2）根据零指数幂和sin45=得到原式=1+26+（1），再进行乘法运算后合并即可【解答】解：（1）原式=+=+=2+=2；（2）原式=1+26+（1）=1+231=【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：tan30=，sin45=，sin60=，cos60=也考查了零指数幂以及二次根式的混合运算2（1998四川）求的值【考点】特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】先把各特殊角的三角函数值值代入，再按照实数混合运算的法则进行计算即可【解答】解：原式=24【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键3（2013常德）如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C=45，sinB=，AD=1（1）求BC的长；（2）求tanDAE的值【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）先由三角形的高的定义得出ADB=ADC=90，再解RtADC，得出DC=1；解RtADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CECD，然后在RtADE中根据正切函数的定义即可求解【解答】解：（1）在ABC中，AD是BC边上的高，ADB=ADC=90在ADC中，ADC=90，C=45，AD=1，DC=AD=1在ADB中，ADB=90，sinB=，AD=1，AB=3，BD=2，BC=BD+DC=2+1；（2）AE是BC边上的中线，CE=BC=+，DE=CECD=，tanDAE=【点评】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtADC与RtADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键4（2013渝中区校级模拟）如图，在ABC中，C=30，ADBC于D，cosB=，BD=6，求DC的长（结果保留根号）【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】在直角ABD中，cosB=，BD=6，可得，AB=10，AD=8，在直角ACD中，CD=cot30AD，解答出即可【解答】解：ADBC于D，cosB=，BD=6，在直角ABD中，得，AB=10，AD=8，在直角ACD中，C=30，CD=cot30AD，=8，=【点评】本题主要考查了直角三角形勾股定理及三角函数的应用，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键5（2013重庆模拟）如图，在RtABC中，C=90，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设CAD=a（1）求sina、cosa、tana的值；（2）若B=CAD，求BD的长【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解（2）由B=CAD=和（1）求得的tan，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长【解答】解：在RtACD中，AC=2，DC=1，AD=（1）sin=，cos=，tan=；（2）在RtABC中，tanB=，即tan=，BC=4，BD=BCCD=41=3【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力6（2013南岸区校级模拟）如图，AD是ABC中BC边上的高，且B=30，C=45，CD=2求BC的长【考点】解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】先在RtACD中，运用正切函数的定义得出AD=CD=2，然后在RtABD中，运用正切函数的定义得出BD=，则根据BC=BD+CD即可求解【解答】解：AD是ABC中BC边上的高，ADBC，ADB=ADC=90在RtACD中，tanC=tan45=1，AD=2在RtABD中，tanB=tan30=，BD=BC=BD+CD=+2，即BC的长为+2【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系7（2011枣庄）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=AD=6，DEDC交AB于E，DF平分EDC交BC于F，连接EF（1）证明：EF=CF；（2）当tanADE=时，求EF的长【考点】解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】（1）过D作DGBC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明ADEGDC，接着利用全等三角形的性质证明EDFCDF，（2）由tanADE=根据已知条件可以求出AE=GC=2设EF=x，则BF=8CF=8x，BE=4在RtBEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF【解答】（1）证明：过D作DGBC于G由已知可得四边形ABGD为正方形，DEDCADE+EDG=90=GDC+EDG，ADE=GDC又A=DGC且AD=GD，ADEGDC，DE=DC且AE=GC在EDF和CDF中，EDFCDF，EF=CF；（2）解：tanADE=，AE=GC=2BC=8，BE=4，设CF=x，则BF=8CF=8x，在RtBEF中，由勾股定理得：x2=（8x）2+42，解得x=5，即EF=5【点评】本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解8（2013娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30和45，试确定生命所在点C的深度（精确到0.1米，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过点C作CDAB于点D，设CD=x，在RtACD中表示出AD，在RtBCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可【解答】解：过点C作CDAB于点D，设CD=x，在RtACD中，CAD=30，则AD=CDcot30=CD=x，在RtBCD中，CBD=45，则BD=CD=x，由题意得，ADBD=AB，即xx=4，解得：x=2（+1）5.5答：生命所在点C的深度为5.5米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用9（2013眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题【分析】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H在RtEFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出水平宽FG的长；同理可在RtADH中求出AH的长；由AF=FG+GHAH求出AF的长（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积【解答】解：（1）分别过点E、D作EGAB、DHAB交AB于G、H四边形ABCD是梯形，且ABCD，DH平行且等于EG 故四边形EGHD是矩形 ED=GH 在RtADH中，AH=DHtanDAH=10tan45=10（米） 在RtFGE中，i=，FG=EG=10（米） AF=FG+GHAH=10+310=107（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED坝长=（3+107）10500=2500010000（立方米） 答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（107）米；（2）完成这项工程需要土石（2500010000）立方米【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力10（2013鞍山）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45降为30，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：=1.414，=1.732，=2.449）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】在RtABC中，根据AB=5米，ABC=45，求出AC的长度，然后在RtADC中，解直角三角形求AD的长度，用ADAB即可求出滑板加长的长度【解答】解：在RtABC中，AB=5，ABC=45，AC=ABsin45=5=，在RtADC中，ADC=30，AD=5=51.414=7.07，ADAB=7.075=2.07（米）答：改善后滑滑板约会加长2.07米【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键11（2011宁德）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图已知，斜屋面的倾斜角为25，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求（1）真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；（2）铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）【考点】解直角三角形的应用；矩形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题；数形结合【分析】（1）过B作BFAD于F构建RtABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD与ED的长，再用CD的长减去ED的长即可解答【解答】解：（1）过B作BFAD于F在RtABF中，sinBAF=，BF=ABsinBAF=2.1sin401.350真空管上端B到AD的距离约为1.35米（4分）（2）在RtABF中，cosBAF=，AF=ABcosBAF=2.1cos401.609（6分）BFAD，CDAD，又BCFD，四边形BFDC是矩形BF=CD，BC=FD（7分）在RtEAD中，tanEAD=，ED=ADtanEAD=1.809tan250.844（9分）CE=CDED=1.3500.844=0.5060.51安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米（10分）【点评】本题以常见的太阳能为背景，考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，又让学生感受到生活处处有数学，数学在生产生活中有着广泛的作用12（2011巴中）某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20m，斜坡上的影长CD=8m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为30，同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m求旗杆AB的高度（结果精确到1m）（提示：同一时刻物高与影长成正比参考数据：1.414.1.732.2.236）【考点】解直角三角形的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】根据已知条件，过D分别作BC、AB的垂线，设垂足为E、F；在RtDCE中，已知斜边CD的长，和DCE的度数，满足解直角三角形的条件，可求出DE、CE的长即可求得DF、BF的长；在RtADF中，根据同一时刻物高与影长成正比求出DF的长，即可求得AF的长，进而AB=AF+BF可求出【解答】解：过D作DE垂直BC的延长线于E，且过D作DFAB于F，在RtDEC中，CD=8米，DCE=30DE=4米，CE=4米，BF=4米，DF=（20+4）米，身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3m=，则AF=（10+2）米，AB=AF+BF=10+2+4=（14+2）17米电线杆的高度为17米【点评】本题考查了把实际问题转化为数学问题的能力，应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形13（2011通州区二模）某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼（如图 ），该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：）【考点】解直角三角形的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）利用三角函数算出阳光可能照到居民楼的什么高度，和6米进行比较（2）超市不受影响，说明32的阳光应照射到楼的底部，根据新楼的高度和32的正切值即可计算【解答】解：（1）如图，设CE=x米，则AF=（20x）米，即20x=15tan32，x11，116，居民住房的采光有影响（2）如图：，=32（米）故两楼应相距32米【点评】本题考查锐角三角函数的应用需注意直角三角形的构造是常用的辅助线方法14（2015酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4），连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可求出直线BA的解析式，即可得出点P的坐标（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a=，y=（x1）（x5）=x2x+4=（x3）2，抛物线的对称轴是：x=3；（2）P点坐标为（3，）理由如下：点A（0，4），抛物线的对称轴是x=3，点A关于对称轴的对称点A的坐标为（6，4）如图1，连接BA交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小设直线BA的解析式为y=kx+b，把A（6，4），B（1，0）代入得，解得，y=x，点P的横坐标为3，y=3=，P（3，）（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2t+4）（0t5），如图2，过点N作NGy轴交AC于G；作ADNG于D，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=x+4，把x=t代入得：y=t+4，则G（t，t+4），此时：NG=t+4（t2t+4）=t2+4t，AD+CF=CO=5，SACN=SANG+SCGN=ADNG+NGCF=NGOC=（t2+4t）5=2t2+10t=2（t）2+，当t=时，CAN面积的最大值为，由t=，得：y=t2t+4=3，N（，3）【点评】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是方程思想与数形结合思想的灵活应用15（2015阜新）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A（3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且SAOP=4SBOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQx轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设P点坐标为（x，x22x+3），根据SAOP=4SBOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值【解答】解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得故该抛物线的解析式为：y=x22x+3（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=x22x+3，则易得B（1，0）SAOP=4SBOC，3|x22x+3|=413整理，得（x+1）2=0或x2+2x7=0，解得x=1或x=12则符合条件的点P的坐标为：（1，4）或（1+2，4）或（12，4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（3，0），C（0，3）代入，得，解得即直线AC的解析式为y=x+3设Q点坐标为（x，x+3），（3x0），则D点坐标为（x，x22x+3），QD=（x22x+3）（x+3）=x23x=（x+）2+，当x=时，QD有最大值【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想16（2015内江）如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC（1）求抛物线的函数关系式；（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NPx轴于点P，设点N的横坐标为t（t2），求ABN的面积S与t的函数关系式；（3）若t2且t0时OPNCOB，求点N的坐标【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；（2）当t2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO由于PO=，需分t0和0t2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：，解得：，抛物线的函数关系式为y=x2+x+1；（2）当t2时，yN0，NP=|yN|=yN=t2+t+1，S=ABPN=（2+）（t2+t+1）=（t2+t+1）=t2+t+；（3）OPNCOB，=，=，PN=2PO当t0时，PN=yN=t2+t+1，PO=t，t2+t+1=2t，整理得：3t29t2=0，解得：t1=，t2=0，0，t=，此时点N的坐标为（，）；当0t2时，PN=yN=t2+t+1，PO=t，t2+t+1=2t，整理得：3t2t2=0，解得：t3=，t4=10，012，t=1，此时点N的坐标为（1，2）综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要舍去17（2015宁德）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（0，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式和ABC的度数；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若ACB=PAB，求点P的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出ABC的度数；（3）利用ACB=PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标【解答】解：（1）将点A的坐标（1，0），点C的坐标（0，3）代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线解析式为：y=x22x3；（2）由（1）得：0=x22x3，解得：x1=1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：，故直线BC的解析式为：y=x3，B（3，0），C（0，3），BO=OC=3，ABC=45；（3）过点P作PDx轴于点D，ACB=PAB，ABC=PBA，ABPCBA，=，BO=OC=3，BC=3，A（1，0），B（3，0），AB=4，=，解得：BP=，由题意可得：PDOC，DB=DP=，OD=3=，则P（，）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式等知识，熟练应用相似三角形的判定方法得出ABPCBA是解题关键18（2015德阳）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，且OC=OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EFx轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长在三角形BFE中，BF=BOOF，因此可用E的横坐标表示出BF的长如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值即可求出此时E的坐标；（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（1，m），如图所示，过A作AN对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到ANPPMA，由全等三角形的对应边相等得到AN=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A坐标，将A坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），OB=3，OC=OB，OC=3，c=3，解得：，所求抛物线解析式为：y=x22x+3；（2）如图2，过点E作EFx轴于点F，设E（a，a22a+3）（3a0），EF=a22a+3，BF=a+3，OF=a，S四边形BOCE=BFEF+（OC+EF）OF，=（a+3）（a22a+3）+（a22a+6）（a），=a+，=（a+）2+，当a=时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（，）；（3）抛物线y=x22x+3的对称轴为x=1，点P在抛物线的对称轴上，设P（1，m），线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，当m0时，PA=PA1，APA1=90，如图3，过A1作A1N对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，NPA1+MPA=NA1P+NPA1=90，NA1P=NPA，在A1NP与PMA中，A1NPPMA，A1N=PM=m，PN=AM=2，A1（m1，m+2），代入y=x22x+3得：m+2=（m1）22（m1）+3，解得：m=1，m=2（舍去），当m0时，要使P2A=P2A，2，由图可知A2点与B点重合，AP2A2=90，MP2=MA=2，P2（1，2），满足条件的点P的坐标为P（1，1）或（1，2）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键19（2015青海）如图，二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C该抛物线的顶点为M（1）求该抛物线的解析式；（2）判断BCM的形状，并说明理由；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式；（2）根据B、C、M的坐标，可求得BCM三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可；（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标【解答】解：（1）二次函数y=ax2+bx3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，解得：，则抛物线解析式为y=x22x3；（2）BCM为直角三角形，理由为：对于抛物线解析式y=x22x3