复习自测题参考解答.docVIP

第45章复习自测题（参考解答）一、选择题：1. 复级数收敛的必要条件是 B . 文档来自于网络搜索(A) (B) (C) (D) 2. 若复级数收敛，则 B . 文档来自于网络搜索(A) (B) (C) (D) 3. 下列复级数收敛的是 C . 文档来自于网络搜索(A) (B) (C) (D) 4. 下列复级数发散的是 C .文档来自于网络搜索(A) （其中） (B) (C) (D) 5. 幂级数的收敛半径和收敛圆为 B .文档来自于网络搜索(A) 和 (B) 和 (C)和. (D) 和6. 已知幂级数的和函数为，则的收敛半径和收敛圆为 B .(A) 和 (B) 和 (C)和. (D) 和7. 是是 B .文档来自于网络搜索（A）5阶零点 (B) 4阶零点 (C ) 3阶零点 (D) 2阶零点文档来自于网络搜索8. 设分别是函数和的阶零点（），则必为的 C .(A) 阶零点 (B) 阶零点 (C)至多阶零点或 (D) 9. 设分别是函数的阶零点和的阶零点，则必为的 C .(A) 零点. (B) 极点. (C) 可去奇点或极点 (D) 可去奇点文档来自于网络搜索10. 设分别是函数和的阶极点（），则必为的 C .(A) 阶极点 (B) 至少阶极点 (C)至多阶极点或可去奇点 (D) 可去奇点文档来自于网络搜索11. 设分别是函数的阶极点和的阶极点，则必为的 D .(A) 阶极点 (B) 阶极点 (C) 非孤立奇点 (D) 可去奇点或极点12. 设为的可去奇点或极点，且在内，为的本性奇点，则为的 B .文档来自于网络搜索(A) 解析点 (B) 本性奇点 (C) 极点 (D) 可去奇点文档来自于网络搜索13. 设为的可去奇点或极点，且在内，为的本性奇点，则为的 B .文档来自于网络搜索(A) 解析点 (B) 本性奇点 (C) 极点 (D) 可去奇点文档来自于网络搜索14. 设为的可去奇点或极点，且在内，为的本性奇点，则为的 B .文档来自于网络搜索(A) 解析点 (B) 本性奇点 (C) 极点 (D) 可去奇点文档来自于网络搜索15. 设为函数的 C .文档来自于网络搜索(A)可去奇点 (B) 极点 (C) 本性奇点 (D) 非孤立奇点文档来自于网络搜索16. 设为函数的 C .文档来自于网络搜索(A) 可去奇点. (B) 2阶极点 (C)1阶极点 (D) 本性奇点文档来自于网络搜索二、填空题：1. 幂级数的收敛半径 1 ，收敛圆为，收敛圆周为2. 幂级数的收敛半径，收敛圆为3. 设，分别幂级数，和的收敛半径，则，的关系是4. 分别写出，（表示以为割线且满足的单值解析分析）和（表示以为割线且满足的单值解析分析）在处的基本展式（注意指出展式成立的最大范围）文档来自于网络搜索；5. 写出函数 在指定圆域或圆环内的洛朗展式：在内，；在内，；在内，；在内，6. 设函数在原点解析，且对，有，由解析函数的惟一性，可得7. 写出为解析函数的阶零点的定义：若在解析，且，则称为解析函数的阶零点8. 为解析函数的阶零点等价于：存在，使得在内，其中在解析，且9. 设，则在孤立奇点的主要部分为，从而孤立奇点的类型为的 1阶极点 ；在孤立奇点的主要部分为 0 ，从而孤立奇点的类型为的 可去奇点 文档来自于网络搜索10. 设，则在孤立奇点的主要部分为，从而孤立奇点的类型为的 本性奇点 ；在孤立奇点的主要部分为 0 ，从而孤立奇点的类型为的 可去奇点 三、解答或计算题：1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛圆：（1）；（2）；（3）解（1）记，因为，所以收敛半径为，收敛圆为，即复平面（2）记，因为，所以收敛半径为，收敛圆为（3）记，因为，所以，所以收敛半径为，收敛圆为2. 求下列函数在处的泰勒展式，并指出展式成立的范围：（1）；（2），；（3）；（4），；（5）；（6），解（1）因为，所以，在内（2）因为在内，所以，在内由逐项求导性得，即（3）因为，所以，由逐项积分性得，在内，（4）利用，以及计算，过程略（5）利用二次求和的可交换性可得，在内（6）注意到，以及幂级数的乘法可得，在内，3. 判断是下列函数的零点，并求出零点的阶数：（1）；（2）；（3）解（1）因为，其中，易见在解析，且，所以，是的4阶零点（2）因为，所以，为的15阶零点（3）因为，而为的1阶零点，为的2阶零点，所以，为的3阶零点4. 求下列函数在指定圆环内的洛朗展式：（1），；（2），（3），（4），解（1）见教材第5章第1节的例子略（2）在内，（3）在内，（4）在内，5. 求下列函数在扩充复平面上的所有孤立奇点，并分别求出函数在各孤立奇点的去心邻域内的洛朗展式（注意指出展式成立的范围）：文档来自于网络搜索（1）；（2）；（3）（）；（4）解（1）易见此函数的孤立奇点为1，2和，且分别在，和内解析，所以在内，在内，在内，（2）类似于（1）的方法略（3）易见此函数的孤立奇点为，和，且分别在，和内解析，所以在内，在内，在内，（4）易见此函数的孤立奇点为0和，且在内解析（注意既是0的去心邻域，也是的去心邻域），所以，在内，6. 求出下列函数在扩充平面上的所有奇点（注意包括），若是孤立奇点还要指出类型：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解（1）显然的奇点为使的点（）和，显然，它们都是孤立奇点由于为的1阶零点，且，所以为的1阶极点又由于文档来自于网络搜索，所以为的可去奇点（2）因为，所以的奇点为（）和易见为的1阶极点，由于，所以为的非孤立奇点（3）类似于（2）为的1阶极点，为的非孤立奇点（4）易见的奇点为0和，由于0是的本性奇点，0是的解析点（可看成可去奇点），且，所以0仍是的本性奇点作变换，则，同理可得是的本性奇点，所以为的本性奇点文档来自于网络搜索（5）易见的奇点为，作变换，则，由于是的本性奇点，是的极点，且在内，所以仍是的本性奇点，所以为的本性奇点文档来自于网络搜索四、证明题：1. 用解析函数的惟一性定理证明：，其中是以为割线，满足的单值解析分支证明略2. 用解析函数的惟一性定理证明：证明略3. 若在区域内解析，为曲线或区域或有属于的聚点的平面点集，在上常数，证明：在区域内 常数用解析函数的惟一性，证明略4. 用反证法及最大模，最小模原理证明：设是一条围线，在的内部解析，在上连续，且在上，为常数，若常数，则在内至少有一个零点文档来自于网络搜索证明（反证法）假设在内无零点，由最大模与最小模原理得，的最大值和最小值都在上取得，又在上为常数，所以的最大值和最小值相等，从而为常数，再由第2章中解析函数为常函数的结论知，在内为常数，这与题设矛盾，故命题的结论成立文档来自于网络搜索5. 设函数在区域解析，闭圆域，若在区域内满足下列条件之一，则在区域内恒为常数：（1）在内，且在上，为常数；（2）在内，或为常数；（3）在内解析证明（1）类似于第4题用最大模和最小模原理即可，过程略（2）由柯西公式得，在内，所以题设条件变为，在内，或为常数，所以，由第2章中解析函数为常函数的结论知，在内为常数，再由解析函数的惟一性，在区域内恒为常数（3）类似于（2）的方法可得，题设条件变为，在内，所以，由第2章中解析函数为常函数的结论知，在内为常数，再由解析函数的惟一性，在区域内恒为常数文档来自于网络搜索6. 设是的孤立奇点（即在内解析），且在内，不恒为零，若存在内的一列收敛于的点列，使得，则是的本性奇点文档来自于网络搜索证明（排除法）倘若为的可去奇点，则存在，令，则在内解析，注意到，由解析函数的惟一性，在内，所以在内，与题设矛盾倘若为的极点，则，从而，这也显然矛盾综上所述，注意到孤立奇点分类的定义可得，是的本性奇点7. 试用孤立奇点的特征证明下面有关整函数的命题：（1）设为整函数，若在内有界，则恒为常数（刘维尔定理）（2）设为整函数，若存在，则是次多项式（3）设为整函数，若或在内有界，即存在，使得在内，则是至多次多项式证明（1）（方法1）由是整函数可得，仅有一个孤立奇点，且由泰勒定理，在内，其中在的主要部分为又由在内有界和孤立奇点的特征可得，为的可去奇点，所以，从而，在内，（方法2）由条件和孤立奇点的特征可得，为的可去奇点，所以再由整函数的分类定理，恒为常数（2）（方法1）由是整函数可得，仅有一个孤立奇点，且由泰勒定理，在内，其中在的主要部分为又由和孤立奇点的特征可得，为的阶极点，所以，其中，从而，在内，即是次多项式（方法2）易见为的孤立奇点由是整函数及泰勒定理可得，在内，从而在内，所以，在的主要部分为又由和孤立奇点的特征可得，为的可去奇点，所以，即（）所以，在内，其中，即是次多项式（方法3）由条件和孤立奇点的特征可得，为的阶极点，所以再由整函数的分类定理，为次多项式（3）由条件和孤立奇点的特征可得，为的可去奇点或至多阶极点，所以再由整函数的分类定理，为至多次多项式文档来自于网络搜索五、综合题：设是定义在区域内的解析函数列，试按下面的步骤探索和在区域内内闭一致收敛的关系：（1）试用有限覆盖定理证明：在区域内内闭一致收敛对任意，存在邻域，使得在邻域内，一致收敛；（2）若在区域内内闭一致收敛，则也在区域内内闭一致收敛；（3）若在区域内收敛，且在区域内内闭一致收敛，则也在区域内内闭一致收敛；（4）若在区域内收敛，则在区域内内闭一致收敛在区域内内闭一致收敛证明（1）必要性：对任意，取邻域，由于在区域内内闭一致收敛，所以在上一致收敛，从而在内一致收敛充分性：任取有界闭子集，由条件知，对任意，总存在邻域，使得在内一致收敛，即对任意，存在正数，当时，对任意自然数，一切，总有，文档来自于网络搜索，易见，为的开覆盖，由有限覆盖定理，中必有有限个邻域，记为，使得它们仍覆盖，取，则当，对任意自然数，一切，总有，这就证明了在上一致收敛，从而在内内闭一致收敛（2）由（1），我们只须证明：对任意，存在邻域，使得在邻域内，一致收敛即可事实上，由为区域可得，对任意，总存在闭邻域，如图示，取邻域文档来自于网络搜索记的边界为：，因（）在区域内解析，由解析函数的高阶导数公式和积分的估值性，并注意到时，总有，可得，对任意，自然数和，文档来自于网络搜索又为有界闭集，所以在上一致收敛，从而对任意，存在正数，当时，对一切，总有，所以，这就证明了在内一致收敛（3）由（1），我们只须证明：对任意，存在邻域，使得在内一致收敛即可事实上，对，总存在闭邻域由题设在上一致收敛，从而对任意，存在正数，当时，对任意