北师大九年级上《第1章特殊平行四边形》单元测试含答案解析

第 1页（共 41页） 第 1 章 特殊平行四边形 一、选择题 1平行四边形 果添加一个条件，即可推出平行四边形 么这个条件是（ ） A C B D C 在平面直角坐标系中，正方形 按如图所示的方式放置，其中点 在 知正方形 0 ， 则正方形 ） A（ ） 2014 B（ ） 2015 C（ ） 2015 D（ ） 2014 二、填空题 3如图， ，请你添加 一个条件 （只添一个即可），使 4如图，在正方形 等边 第 2页（共 41页） 5如图，正方形 ，以对角线 以对角线 此下去，第 6如图，在正方形 于 点 E若 0 ，则 度 7边长为 1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则 8如图，点 边 若 ， ，则线段 9正方形 如图放置，其中点 点 3在直线 y= x+2上，则点 第 3页（共 41页） 10已知 C 上一点， D，过点 边 点 F，那么 度 11如图，要使平行四边形 应添加的条件是 （只填一个） 12如图，正方形 a，在 1、 D1=a，在边 2、 111 依次规律继续下去，则正方形 13如图， M 相交于点 F， 点 N，连接 2 三、解答题 14如图，在 C， 边形 C 于点 F，连接 求证：四边形 第 4页（共 41页） 15如图，在平面直角坐标系中，点 A（ 2， n）， B（ m， n）（ m 2）， D（ p， q）（ q n），点 B，D 在直线 y= x+1上四边形 C， ，且 ， E， 求证：四边形 16如图，在 C，点 D（不与点 ，点 点 FE 延长线于点 F，连接 （ 1）求证： （ 2）若 D，求证：四边形 17正方形 ，将正方形 按顺时针方向旋转，记旋转角 ，其中 0 180 ，连结 图 （ 1）若 =0 ，则 F，请加以证明； （ 2）试画一个图形（即反例），说明（ 1）中命题的逆命题是假命题； （ 3）对于（ 1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由 第 5页（共 41页） 18如图，在正方形 等边三角形 接 （ 1）求证： E （ 2）求 19如图 1，在正方形 ， D 的延长线上，且 E， （ 1）证明： E； （ 2）求 （ 3）如图 2，把正方形 为菱形 他条件不变，当 20 时，连接 探究线段 线段 说明理由 20在平面直角坐标系 ，直线 y= x+3与 、 B，在 正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在 21如图， C， E， C，且 求证：四边形 第 6页（共 41页） 22已知在 C=5， ， 上的中线，四边形 （ 1）求证：四边形 （ 2）求矩形 23如图，在 D 的中点，过 E 的延长线于点 F，且 D，连接 （ 1）线段 说明理由； （ 2）当 边形 说明理由 24如图，在梯形 C 的中点，连接 B， 证：四边形 25已知：如图，在 ， C， 足为点 D， 足为点 E， （ 1）求证：四边形 （ 2）当 边形 给出证明 第 7页（共 41页） 26如图，在 足分别为 E， F （ 1）求证： （ 2）求证：四边形 27如图，在正方形 D 上，且不与 A、 D、 足为 Q，过 E 作 H （ 1）求证： P； （ 2）若正方形 2， ，求线段 长 28如图，在梯形 0 ， B=30 ， 足为点 E若 ， ，求 29如图， C 上一个动点，过 N 平分线于点 E，交 （ 1）求证： F； （ 2）若 2， ，求 第 8页（共 41页） （ 3）当点 边形 说明理由 30如图， C， 接 ，使 D，连接 （ 1）求证：四边形 （ 2）当 形 说明理由 第 9页（共 41页） 第 1 章 特殊平行四边形 参考答案与试题解析 一、选择题 1平行四边形 果添加一个条件，即可推出平行四边形 么这个条件是（ ） A C B D C 考点】矩形的判定；平行四边形的性质 【专题】证明题；压轴题 【分析】根据对 角线相等的平行四边形是矩形判断 【解答】解： A、是邻边相等，可得到平行四边形 菱形，故不正确； B、是对角线相等，可推出平行四边形 正确； C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形 不正确； D、无法判断 故选 B 【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定 2在平面直角坐标系中，正方形 按如图所示的方式放置，其中点 在 知正方形 0 ， 则正方形 ） A（ ） 2014 B（ ） 2015 C（ ） 2015 D（ ） 2014 第 10页（共 41页） 【考点】正方形的性质 【专题】压轴题；规律型 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案 【解答】方法一： 解：如图所示： 正方形 ， 0 ， 23 0 ， 1 ，则 ） 1， 同理可得： =（ ） 2， 故正方形 ） n 1 则正方形 ） 2014 故选： D 方法二： 正方形 ， 0 ， 2， 0 ， ， 同理： = ， q= ， 正方形 1 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键 第 11页（共 41页） 二、填空题 3如图， ，请你添加一个条件 D （只添一个即可），使 【考点】矩形的判定；平行四边形的性质 【专题】开放型 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行 四边形是矩形）推出即可 【解答】解：添加的条件是 D， 理由是： D，四边形 平行四边形 故答案为： D 【点评】本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一 4如图，在正方形 等边 45 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质 【分析】根据正方形的性质，可得 系， 据等边三角形的性质，可得D 的关系， 据等腰三角形的性质，可得 据三角形的内角和，可得 据角的和差，可得答案 【解答】解： 四边形 正方形， D， 0 等边三角形 E， 0 第 12页（共 41页） 0 +60=150 ， E， 180 2=15 ， 0 15=45 ， 故答案为： 45 【点评】本题考查了正方形的性质，先求出 求出 后求出答案 5如图，正方形 ，以对角线 以对角线 此下去，第 （ ） n 1 【考点】正方形的性质 【专题】压轴题；规律型 【分析】首先求出 后猜测命题中隐含的数学规 律，即可解决问题 【解答】解： 四边形 正方形， C=1， B=90 ， 2+12， ； 同理可求： ） 2， ） 3 ， 第 ） n 1 故答案为（ ） n 1 【 点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用 6如图，在正方形 于点 E若 0 ，则 65 度 第 13页（共 41页） 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】根据正方形的性质得出 利用 利用三角形的内角和解答即可 【解答】解： 正方形 D， 在 ， 0 ， 0 ， 80 45 70=65 ， 故答案为： 65 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出 利用全等三角形的判定和性质解答 7边长为 1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；含 30度角的直角三角形 【分析】过点 D 和 利用正方形和等边三角形的性质得出 而得出 【解答】解：过点 D 和 图 第 14页（共 41页） 一个正方形和一个等边三角形的摆放， 四边形 B= ， E= 1 = ， 故答案为： 【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出 8如图，点 边 若 ， ，则线段 5 【考点】正方形的性质；三角形的面积；勾股定理 【分析】根据正方形性质得出 C=B，根据面积求出 出 ，根据勾股定理求出即可 【解答】解： 过 M ， 四边形 C=B， D， E， ， ， 解 得： ， 第 15页（共 41页） 即 C=B=4， ， 由勾股定理得： = =5， 故答案为： 5 【点评】本题考查了三角形面积，正方形性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出 度适中 9正方形 如图放置，其中点 3在直线 y= x+2上，则点 （ ， 0） 【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题；规律型 【分析】设正方形 t，则 t， t），根据 t= t+2，解得 t=1，得到 1， 1），然后利用同样的方法可求得 ， ）， ， ），则， 0） 【解答】解：设正方形 t，则 t， t），所以 t= t+2，解得 t=1，得到 1， 1）； 设正方形 a，则 1+a， a）， a=（ 1+a） +2，解得 a= ，得到 ， ）； 设正方形 b，则 +b， b）， b=（ +b） +2，解得 b= ，得到 ， ）， 所以 ， 0） 故答案为 （ ， 0） 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角也考查了一次函数图象上点的坐标特征 第 16页（共 41页） 10已知 C 上一点， D，过点 边 点 F，那么 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】根据正方形的性质可得 5 ，再由 出 【解答】解：如图， 在 t 四边形 5 ， 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，求证 11如图，要使平行四边形 应添加的条件是 0 或 D（不唯一） （只填一个） 【考点】矩形的判定；平行四边形的性质 【专题】开放型 【分析】根据矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形，直接添加条件即可 第 17页（共 41页） 【解答】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 故添加条件： 0 或 D 故答案为： 0 或 D 【点评】本题主要应用的知识点为：矩形的判定 对角线相等且相互平分的四边形为矩形 一个角是 90度的平行四边形是矩形 12如图，正方形 a，在 1、 D1=a，在边 2、 111 依次规律继续下去，则正方形 【考点】正方形的性质 【专题】压轴题；规律型 【分析】首先在 勾股定理可求得正方形 ，然后再在 勾股定理求得正方形 ，然后找出其中的规律根据发现的规律即可得出结论 【解答】解：在 勾股定理可知； = = ，即正方形 ； 在 勾股定理可知： = ；即正方形 第 18页（共 41页） 正方形 故答案为： 【点评】本题主要考查的是正方形的性质和勾股定理的应用，通过计算发现其中的规律是解题的关键 13如图， M 相交于点 F， ，连接 2 5 13 【考点】矩形的判定与性质；勾股定理的应用；平行四边形的性质；相似三角形的应用 【专题】综合题；压轴题 【分析】由条件易证 0 进而可证到四边形 0 ，由M易证 而得到 N；易证 而得到4 k，则 k （ k+1）， （ k+1），从而有 k， （ k+1）由 2k，从而求出 【解答】解： 平分线， 同理： 四边形 ， C 在 第 19页（共 41页） N 四边形 80 0 0 同理可得： 0 0 ， ， =5（ 0 四边形 M=3 = = 4 设 k，则 k 0 ， k 0 ， （ k+1）， （ k+1）， （ k+1） 2（ D） =42， D=21 5（ k+1） +5k=21 第 20页（共 41页） k= 3（ 故答案为： 5； 13 【点评】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性较强 三、解答题 14（ 2015聊城）如图，在 C， 分 边形 ，连接 求证：四边形 【考点】矩形的判定 【专题】证明题 【分析】根据已知条件易推知四边形 合等腰 三线合一 ” 的性质证得 0 ，所以由 “ 有一内角为直角的平行四边形是矩形 ” 得到 【解答】证明： C， D 四边形 D， D， 四边形 第 21页（共 41页） 0 ， 【点评】本题考查了矩形的判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 15如图，在平面直角坐标系中，点 A（ 2， n）， B（ m， n）（ m 2）， D（ p， q）（ q n），点 B，D 在直线 y= x+1上四边形 C， ，且 ， E， 求证：四边形 【考点】矩形的判定；一次函数图象上点的坐标特征 【专题】证明题 【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后根据 据平行四边形的面积计算方法得当 【解答】证明：作 点 F， 1= 2， 3= 4， 在 ， E， 四边形 A（ 2， n）， B（ m， n），易知 A， m 2=4， m=6， 第 22页（共 41页） 将 B（ 6， n）代入直线 y= x+1得 n=4， B（ 6， 4）， = ， ， D（ p， q）， E（ ， ）， F（ ， 4）， +1=4， q=2， p=2， 四边形 【点评】本题考查了矩形的判定，解题的关键是了解有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大 16如图，在 C，点 D（不与点 ，点 点 FE 延长线于点 F，连接 （ 1）求证： （ 2）若 D， 求证：四边形 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 第 23页（共 41页） 【分析】（ 1） （ 2）根据对角线互相平分的证明四边形 根据等腰三角形三线合一证明 0 ，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证 【解答】证明：（ 1） B， 在 ， （ 2） D， 四边形 C， D， 四边形 【点评】本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大 17（ 2015义乌市）正方形 ，将正方形 按顺时针方向旋转，记旋转角 ，其中 0 180 ，连结 图 （ 1）若 =0 ，则 F，请加以证明； （ 2）试画一个图形（即反例），说明（ 1）中命题的逆命题是假命题； （ 3）对于（ 1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由 第 24页（共 41页） 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质 【专题】压轴题 【分析】（ 1）利用正方形的性质证明 （ 2）当 =180 时， F （ 3）利用正方形的性质和 【解答】（ 1）证明：如图 1， 四边形 E， B， F， 0 ， E， 在 ， F； （ 2）解：图形（即反例）如图 2， 第 25页（共 41页） （ 3）解：补充一个条件为：点 即：若点 F，则旋转角 =0 【点评】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件 18（ 2015鄂州）如图，在正方形 等边三角形 接 （ 1）求证： E （ 2）求 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】（ 1）根据正 方形的性质，可得 D= 0 ，根据正三角形的性质，可得 D= 0 ，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （ 2）根据等腰三角形的性质， 据三角形的内角和定理，可得 据角的和差，可得答案 【解答】（ 1）证明： 四边形 D= 0 三角形 D= 0 50 第 26页（共 41页） 在 E； （ 2） D， E， E， 又 50 ， 5 ， 同理： 5 0 15 2=30 【点评】本题考查了正方形的性质，（ 1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（ 2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差 19如图 1，在正方形 ， D 的延长线上，且 E， （ 1）证明： E； （ 2）求 （ 3）如图 2，把正方形 为菱形 他条件不变，当 20 时，连接 探究线段 线段 说明理由 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质 【专题】证明题 【分析】（ 1）先证出 C，由于 E，得 E； （ 2）由 而得 C，得到 E， E，最后 0 得到结论； 第 27页（共 41页） （ 3）借助（ 1）和（ 2）的证明方法容易证明结论 【解答】（ 1）证明：在正方形 C， 5 ， 在 ， C， E， E； （ 2）由（ 1）知， E， E， E， 顶角相等）， 180 80 E， 即 0 ； （ 3）在菱形 C， 0 ， 在 ， C， E， E， 第 28页（共 41页） C， 顶角相等）， 180 80 即 80 80 120=60 ， E， E 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出 20在平面直角坐标系 ，直线 y= x+3与 、 B，在 正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在 【考点】正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】分两种情况： 如图 1，令 x=0，则 y=3，令 y=0，则 x=3，得到 B=3， 5 ，根据 出 E，由于四边形 到 E，等量代换得到 E，即可得到结论； 如图 2，由（ 1）知 四边形 到 F，于是得到 出 F+2，即可得到结论 【解答】解：分两种情况； 如图 1，令 x=0，则 y=3，令 y=0，则 x=3， B=3， 5 ， E， 第 29页（共 41页） 四边形 E， E， ， E（ ， 0）； 如图 2，由 知 四边形 F， F+2， ， F（ 1， 0） 第 30页（共 41页） 【点评 】本题考查了正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键 21如图， C， E， C，且 求证：四边形 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】求出 出 D，得出平行四边形 据平行线性质得出 80 ，求出 据矩形的判定求出即可 【解答】证明： 在 D， B， 四边形 D， 四边形 80 ， 第 31页（共 41页） 0 ， 四边形 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质和判定，平行线的性质全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形 22已知在 C=5， ， 上的中线，四边形 （ 1）求证：四边形 （ 2）求矩形 【 考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质 【分析】（ 1）利用三线合一定理可以证得 0 ，根据矩形的定义即可证得； （ 2）利用勾股定理求得 长，然后利用矩形的面积公式即可求解 【解答】解：（ 1） C， C 边上的中线， 0 ， 四边形 平行四边形 （ 2） C=5， ， 中线， C=6 =3， 在直角 第 32页（共 41页） = =4， S 矩形 D 4=12 【点评】本题考查了三线合一定理以及矩形的判定，理解三线合一定理是关键 23如图，在 D 的中点，过 E 的延长线于点 F，且 D，连接 （ 1）线段 说明理由； （ 2）当 边形 说明理由 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】（ 1）根据两直线平行，内错角相等求出 后利用 “ 角角边 ” 证明 据全等三角形对应边相等可得 D，再利用等量代换即可得证； （ 2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形 根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知 0 ，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是 C 【解答】解：（ 1） D 理由如下：依题意得 E， 在 ， D， D， 第 33页（共 41页） D； （ 2）当 C 时，四边形 理由如下： D， 四边形 C， D（三线合一）， 0 ， 【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键 24（ 2014宁德）如图，在梯形 接 B， B求证：四边形 【考点】矩形的判定 【专题】证明题 【分析】先判断四边形 平行四边形，然后由 0 即可判断出四边形 【解答 】证明： 四边形 E 点 C 的中点， E= 四边形 第 34页（共 41页） C，点 0 【点评】本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理 25已知：如图，在 ， C， 足为点 D， 足为点 E， （ 1）求证：四边形 （ 2）当 边形 给出证明 【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定 【专题】证明题；开放型 【分析】（ 1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知 以求证 0 ，可以证明四边形 （ 2）根据正方形的判定