04一元二次方程根的判别式2教师

1 / 7 第四讲 一元二次方程根的判别式（2） 【有理根】 实系数方程 00 2 acbxax有实数根的充分必要条件是：04 2 acb 有理系数方程 00 2 acbxax有有理数根的判定是：acb4 2 是完全平方式，反之 亦然。 2 40bac 时，二次方程 2 0axbc 是完全平方式. 1 方程 2 213xmxm 的根的判别式的值是 4，则求这个方程的根. 解： 1 0 x ， 2 1x 或 1 1x ， 2 2x . 2 当k不小于 1 4 时，方程 2 2210kxkxk的根的情况是 . 解：有两个实数根。41k ，因为 1 4 k ，所以0. 3 关于x的方程 2 460 xxm没有实数根，则m的最小整数值为 . 解：3 【注意含有参数取值范围】 4 已知ab、为整数， 2 30 xaxb 有两个不相等的实数根； 2 670 xa xb有两 个相等的实数根； 2 450 xa xb 没有实数根，求ab、的值. 解： 2 30 xaxb 有两个不相等相同的根， 2 1 4120ab ， 2 412ab. 2 / 7 2 670 xa xb有 两 个 相 等 相 同 的 根 ， 2 2 41280aba ， 从 而 2 41 28aba. 2 450 xa xb 没有实数根， 2 3 4840aba ，从而 2 484aba，所以 12812a ，得 5 3 a ，12884aa ，得3a 所以 5 3 3 a.由已知条件a是整数，所以2a ；代入 2 4128aba，得3b . 5 已知方程 2 (1)(1)10mxmx 有实数根，求m的取值范围。 解： （1）当01 m即1 m时，原方程变形为 1=0，此时方程无解，故1 m。 （2）当1 m时，方程为二次方程，此时有1 m且0 ，032 2 mm，解得 1 m或3 m，而1 m 综上可知，当原方程有实数根时，1 m或3 m。 6 如 果 关 于x的 方 程 2 2250m xmxm没 有 实 数 根 ， 那 么 关 于x的 方 程 2 52 220mxmxm的实数根的个数为 . 解：1 或 2. 第一个方程没有实根，所以0m，设其判别式为 1 ，解得4m。当5m时，第二个方程变 为1450 x ， 有一个实根； 当5m时， 该方程是一元二次方程， 设其判别式为 2 ， 2 3616m . 又4m，故 2 0 ，于是该方程有两个不等实根。 7 对于方程 2 2xxam， 如果方程实根的个数恰为三个， 则m . （相等的根视为一个） 解：因 2 2 xx，故原方程可化为 2 220 xxm.因此方程恰有 3 个实根，所以必有一个实 根为0 x （否则必有 4 个实根） ，故20m，故2m. 8 当a在什么范围内取值时，方程 2 5xxa有且只有相异的两实数根？（相等的根视为一个） 解： （1）当0a 时，原方程化为 2 50 xxa 或 2 50 xxa 1 2540a ，所以方程有两个相异的实数根，方程必无实数根，方程的判别式 2540a，得 25 4 a 时，方程有且只有两个相异的实数根； （2）当0a 时，原方程变为 2 50 xx，有两个相异实数根：0 x ，5x ； 3 / 7 （3）当0a 时， 2 5xxa无实数根。 所以a的范围是0a 或 25 4 a . 9 已知ab、为整数， 2 30 xaxb 有两个不相等的实数根； 2 670 xa xb有两 个相等的实数根； 2 450 xa xb 没有实数根，求ab、的值. 解： 2 30 xaxb 有两个不相等相同的根， 2 1 4120ab ， 2 412ab. 2 670 xa xb有 两 个 相 等 相 同 的 根 ， 2 2 41280aba ， 从 而 2 41 28aba. 2 450 xa xb 没有实数根， 2 3 4840aba ，从而 2 484aba，所以 12812a ，得 5 3 a 12884aa ，得3a 所以 5 3 3 a.由已知条件a是整数，所以2a ；代入 2 4128aba，得3b . 10 已知三个关于x的方程 2 0 xxm 、 2 1210mxx 和 2 2210mxx ，若其 中至少有两个方程有实数根，求实数m的范围. 解： 1 4 m 或12m 方程 2 0 xxm 的判别式 1 1 4m ； 方程 2 1210mxx 的判别式 2 4 2m ； 方程 2 2210mxx 的判别式 3 41m . 当 1 4 m 时， 1 0 ， 2 0 ， 3 0 ； 1 1 4 m时， 1 0 ， 2 0 ， 3 0 ； 当12m时， 1 0 ， 2 0 ， 3 0 ；当2m， 1 0 ， 2 0 ， 3 0 . 所以 1 4 m 或12m时，至少有两个方程有实数根。 11 m是有理数，当k何值时，方程 22 443240 xmxxmmk的根为有理数. 解：原方程的判别式为 2 1 4241616mmk ，要使方程有有理根，只需使 1 为m的完全平方 式。若使， 2 4241616mmk为m的 完 全 平 方 式 ， 只 需 它 的 判 别 式 2 2 244 41616k ，故 5 4 k . 4 / 7 12 求方程 22 3330 xxyyxy 的实数解。 解： 0333 22 yyxyx。 0133343 2 2 2 yyyy，从而1 y，1 x。 5 / 7 1 证明：当m取任何实数时，一元二次方程 2 240 xmxm有两个不相等的实数根. 解： 2 22 44444162115mmmmm ，因为 2 210m， 2 21150m，所以有两个不相等的实根. 2 已知方程 2 2460 x kxx无实数根，则k的取值范围是多少. 解： 11 6 k . 3 已知abc、 、是三角形ABC的三边的长度，方程 2 3 20 4 bc xac xac有两个 相等的实数根.求证：ABC是等腰三角形. 4 如果 22 2(1)5xmxm是完全平方式，求m的值。 解法一：5)1(2 22 mxmx是完全平方式 方程05)1(2 22 mxmx有两个相等的实数根 则0 ，即0)5(4)1(4 22 mm，解得2 m 解法二：5)1(2 22 mxmx是完全平方式 22222 )1(5)1(5)1(2 mmmxmxmx 则0)1(5 22 mm，解得2 m 6 / 7 【完全平方式的判定】 2 如果 22 2(1)5xmxm是完全平方式，求m的值。 解法一：5)1(2 22 mxmx是完全平方式 方程05)1(2 22 mxmx有两个相等的实数根 则0 ，即0)5(4)1(4 22 mm，解得2 m 解法二：5)1(2 22 mxmx是完全平方式 22222 )1(5)1(5)1(2 mmmxmxmx 则0)1(5 22 mm，解得2 m 【综合】 3 已知关于x的方程01) 1 )(72() 1 )(1( 22 x x a x x a有实数根。求a的取值范围。 解：设t x x 1 ，则txt )1(，当1 t时，x无解，所以1 t。 原方程可化为01)72()1( 22 tata()，由于二次项系数为一个代数式，所以分两种情 况考虑： （1） 当01 2 a， 即1 a时， 原方程化为一次方程：019 t或015 t， 解得 9 1 t 或 5 1 t，这时原方程有实数根； （2）当01 2 a，即1 a时，原方程为二次方