土力学与数值方法：土的本构理论(1).ppt

第四章：土的本构理论,土的本构关系又称为本构模型，即描述土的应力应变关系的数学表达式。土的-关系很复杂，具有非线性、粘弹塑性，同时强度发挥程度、应力历史以及土的组成状态和结构等对其都有影响。已建立的本构模型很多，重要的有以下几类：弹性模型-Winkler、弹性半空间、分层地基模型非线性弹性模型-D-C模型弹塑性模型-剑桥模型粘弹性模型边界面模型内蕴时间模型,土的变形特性：非线性和非弹性塑性体积应变和剪胀性塑性剪应变硬化和软化应力路径和应力历史对变形的影响中主应力对变形的影响高固结压力的影响各向异性在简单应力条件下，可以通过试验的方法确定土的本构关系，但在复杂应力条件下试验就比较困难，因此，根据简单应力条件下得到的结果，结合理论分析的方法建立复杂应力条件下的本构关系，求得普遍形式的本构方程。弹性理论弹塑性理论,4.1线性弹性理论,线性弹性理论假定变形是可逆的，应力与应变一一对应。,横观同性介质（竖向与横向异性）,具有一个对称轴，如取z轴作为对称轴，与该轴垂直的xy平面内各方向具有相同的弹性参数，再根据假定正应力不引起剪应变，剪应力不引起正应力，一个剪应力分量仅产生一个剪应变分量，在小应变假设下叠加原理，可以得到本构方程：,各向同性介质,材料在各向同性条件下，本构方程即为广义虎克定律：,从中解出应力分量：,E-形式的本构关系,对于各向同性材料，独立的弹性常数只有2个，另外，剪应变不引起体积应变。,B-G形式的本构关系,为了将应力和应变的球张量与偏张量分开，将三个正应力公式相加：由应力计算公式，得到应力偏量：由此得到B-G形式的本构关系：或合并：,体积弹性模量,偏应变张量,球应力,球应变,偏应力,偏应变,v=3m,其中或,同样，独立的弹性常数只有2个，相互可以换算。,弹性常数,变形模量E0：土的变形具有非线性特征，只有在一定范围内才可以近似地应用线弹性模型，而且土的变形几乎从开始就包含塑性变形，因此，土的弹性常数一般采用变形模量。压缩模量Es：变形模量E0是在无侧限条件下得到的，压缩模量Es则是在有侧限条件下得到的，两者可以互换。弹性模量E：车辆、振动荷载作用下，大部分变形是可逆的弹性变形，采用压缩模量或变形模量式，计算结果偏大，应采用弹性模量。,模型评价与应用,由于在一定的荷载范围内，土的应力-应变曲线近似直线，用线弹性模型进行分析简单易行，有些情况下能得到满足精度要求的结果。广义虎克定律未能反映土的压硬性和剪胀性，前者表示应力球张量对应变偏张量的影响，后者反映应力偏张量对应变球张量的影响。,4.2非线性弹性理论,非线性是土的基本变形特性之一，非线性弹性模型考虑了土的非线性特性，但与应力历史与应力路径无关，加载与卸载仍按同一路径进行，变形是可逆的。,模型的一般说明,Green超弹性模型超弹性模型假定，材料在一定的应力或应变状态下，具有唯一的能量密度函数(ij)或W(ij)且二阶可微，本构方程为：将具有该性质的材料称超弹性材料。,增量型本构方程：,割线弹性张量,超弹性模型适用于比例加载情况。Cauchy弹性模型模型假定当前的应力或应变张量唯一地取决于当前的应变或应力张量，与到达此应变或应力的历史无关。本构方程为：,最简单的Cauchy弹性模型具有广义虎克定律相同的形式，若采用B-G形式：,m,sij,2eij,割线体积模量,割线剪切模量,增量形式,切线体积模量,切线剪切模量,次弹性模型超弹性模型与Cauchy弹性模型都有与应力路径无关的假定，应力-应变之间存在一一对应的关系。实际上，土的变形与应力路径有关，次弹性模型放松要求，采用应力或应变路径在增量意义上的最小弹性性质，本构方程为：在建立次弹性模型中，实际上只要将胡克定律弹性矩阵中的弹性常数E、或B、G改为切线弹性参数Et、t或Bt、Gt即可，它们是随应力或应变而变化的量。,与应变或应力路径有关的弹性张量,Duncan-Chang模型（D-C模型）,特点如下图所示，实际上加荷路径不等于卸荷路径，为非弹性。现假定卸荷路径与加荷路径相同，即与路径无关，只考虑OA，认为AB与OA重合，即为非线性。,非线性弹性地基模型,D-C模型的假设和表达式Duncan-Chang(1970)根据Kondner的建议，假设在常规三轴试验条件下的加载和卸载应力应变曲线均为双曲线，并利用摩尔库仑准则导出了非线性弹性地基模型的切线模量公式。,双曲线应力应变关系,切线弹性模量Et基于三轴排水试验建立起来的非线性模型，对于正常固结粘性土、松砂及中密砂，具有应变硬化特征，偏应力q=1-3与轴应变1之间的关系可以用双曲线进行拟合，可表示为：将上式改写：令1，,a、b：试验常数,偏应力极限值,在常规三轴试验里，通常3为常数，则切线模量可定义为：令1=0，得到初始切线模量：,为消除切线模量公式中的轴应变1，先从双曲线方程中解出轴应变：再将其代入切线模量计算公式中，即可根据Ei和(1-3)ult求出切线模量Et，由于初始模量及极限偏应力都是定值，所以，可以根据偏应力确定切线模量。根据试验资料，Janbu提出Ei与围压3之间的关系：,为确定极限偏应力，引入破坏比Rf将轴应变1、Ei、(1-3)ult的表达式代入到切线模量公式里，得到：破坏应力(1-3)f可根据M-C破坏准则确定：代入Et公式中后，得到：,（Rf值一般为0.751.00）,应力水平,包含5个参数：KE、n、c、Rf,k、n为试验常数，正常固结粘性土，n=10，一般情况下在0.21.0之间；k值随土类变化大，可能小于100，也可能大于数千。破坏时的偏应力(1-3)f，砂性土取试验曲线-1的峰值，粘性土取1=15%20%对应的(1-3)值。,破坏时的偏应力值,切线泊桑比t（应用较少）根据试验，有建议轴应变与侧向应变之间的关系为：根据定义：令1=0，得到初始切线泊桑比：根据试验，初始泊桑比与围压有关，假定如下：可以得到切线泊桑比的表达式：,f、d为试验参数,G、F为试验参数,将1代入上式：按上式计算得到的切线泊桑比可能大于0.5，但在有限元计算中，如t大于0.5，刚度矩阵会出现异常，在实际计算中，当t0.49时，取t=0.49。切线体积模量Bt由于按上式计算得到的切线泊桑比经常偏大，Duncan等建议采用E-B模型，用切线体积模量Bt取代t作为计算参数。在常规三轴试验中，2=3且为常数，则在加载过程中的平均应力增量为：,G、F、d为试验参数,根据定义：由于(1-3)与v之间不呈线性关系，Bt就不是一个常量，Duncan等取与SL=0.7相应的点与原点连线斜率作为Bt：将不同的Bt与3/pa在对数图上绘图，可以得到：,KB、m为参数,模型的修正由于模型采用M-C破坏准则和常规三轴试验(2=3)，模型不能考虑中间主应力的影响，为此，有人提出了一些修正的方法，如将常规三轴试验应力状态量推广到广义应力状态量，即用广义正应力p和广义剪应力q代替3和(1-3)根据上述计算公式，当3=0时，Ei、Bt都等于0，显然与实际情况不符，因此有人建议，当3pc时，用3计算模量，当3pc时，用pc计算模量。,适用性D-C模型适用于荷载不太接近破坏的条件下模型土的-非线性情况。该模型能用于上部结构与地基基础共同作用分析。忽略了应力路径和剪胀性的影响。卸载和重复加载时弹性模量kur、n：试验常数,Domaschuk-Valliappan模型,建议用B-G模型进行非线性弹性增量分析，其增量形式为：,Bt的确定利用各向等压固结试验结果，整理成p=p（v）关系曲线，求得切线体积模量Bt=dp/dv；将试验结果整理成ep关系曲线，即：根据定义：,按初始位置确定体积应变增量：按瞬时位置计算：根据定义：,Gt的确定利用常规三轴固结排水试验确定Gt。假定应力-应变曲线符合双曲线模型：,Gi：初始剪切模量,将上式微分，得到切线剪切模量：根据试验确定初始剪切模量：设q的破坏值为qf，与极限值qult的比值为Rf：根据试验：由此得到：,eic：初始孔隙比,A、B：试验常数,、：试验常数,4.3弹塑性理论框架,把土总的变形分成弹性变形和塑性变形两部分，用虎克定律求“弹性变形”，用塑性理论求“塑性变形”。对于塑性变形有三个假定：破坏准则和屈服准则；硬化规律；流动法则。破坏准则破坏准则为判别破坏与否的标准。Tress（屈雷斯卡）准则Mises（米塞斯）准则Mohr-Coulomb（摩尔库仑）准则Lade-Duncan（拉德邓肯）准则,塑性阶段的本构特性受应力历史和应力路径的影响，应力-应变之间不再具有一一对应的关系。塑性本构关系从本质上是增量型的，即应力增量与应变增量之间的关系。,屈服准则,屈服准则为判别屈服与否的标准（屈服函数屈服面屈服准则硬化规律）。屈服材料发生塑性变形即为屈服；屈服条件屈服时应力满足的条件，建立屈服条件的任务由屈服准则完成；屈服面在应力空间中，区分弹性区域与塑性区域的分界面；帽子类模型反映土的体积变形特性。开口的锥形屈服面模型反映塑性剪切变形。双屈服面模型,对于应变硬化材料，初次进入屈服时称为初始屈服，相应的屈服面称为初始屈服面，初始屈服条件的一般形式：屈服曲线屈服面与偏平面或平面的交线称屈服曲线或屈服轨迹；硬化材料从初始屈服经过一定的阶段才到达破坏，一般假定破坏准则与屈服准则具有相同的形式，只是常数项有所区别，前者是后者的极限形式。这样，土的屈服准则可以由破坏准则直接得到：Tresca屈服准则：Mises屈服准则：,f：屈服函数,k：屈服参数,硬化规律,当材料达到屈服后，屈服的标准要改变，随什么而变，如何变化，即硬化规律。后继屈服、后继屈服面对于硬化材料，进入硬化阶段后，卸载再加载时屈服极限会提高，再进入屈服时称后继屈服，相应的屈服面称后继屈服面；加载、加载面进入塑性阶段后，卸载不产生塑性变形，只有加载才会出现后继屈服，因此后继屈服也称加载，后继屈服面称为加载面。对于硬化材料，后继屈服面或加载面随塑性变形的发展而变化，直至极限即破坏面，说明这种后继屈服面变化规律的为后继屈服条件，其一般形式为：当塑性应变趋于0，H=0，f(ij，H)退化为初始屈服函数。,f：后继屈服函数,H：硬化参数,硬化模型常用的有两种：等向硬化模型假设拉伸时的硬化屈服极限与压缩时的硬化屈服极限相等，在塑性变形过程中后继屈服面逐渐均匀扩大，适合于单调加载情况；随动硬化模型假设在塑性变形过程中，后继屈服面只作空间平动，不改变大小和形状，只适合于加载路径与原来硬化方向比较接近的情况。若同时考虑两种基本硬化现象，加载函数可以写成以下形式：通常，假定H为塑性功：也可以假定H为塑性体积应变和塑性广义剪应变的函数：,流动法则,又称正交定律，确定塑性应变增量方向的的一条规定。即应力状态为时，产生的塑性应变增量与通过该点的塑性势面成正比关系。Mises提出塑性应变增量与塑性势函数存在如下关系：g：为塑性势面的数学表达式称塑性势函数。g(ij，Ha)=0，式中Ha为硬化参数，d：确定塑性应变增量大小的函数，由加工硬化规律确定。上式说明，一点的塑性应变增量与通过该点的塑性等势面正交，即规定了塑性应变增量的方向。,d：非负比例系数,对于稳性材料（应变硬化材料和理想弹塑性材料），塑性应变增量的方向指向屈服面的外法向，因此，可以用屈服面作为塑性等势面，屈服函数作为塑性势函数，g=f，此时的流动法则称相关联流动法则。式中f为屈服函数。如果塑性势面与屈服面不同，则称非相关联流动法则。,塑性等势面,在常规三轴试验中，2=3，不考虑中间应力的影响，广义剪应力和平均应力为：用pq坐标系整理试验结果时，屈服面可以用在pq平面上的屈服曲线来表达。此时，流动法则可以分解为体积流动法则和剪切流动法则：,加载准则,材料进入塑性变形阶段，继续加载产生新的塑性变形，而卸载只是使弹性变形恢复，不产生塑性变形，因此，在塑性阶段，加载和卸载条件下应力应变关系应服从不同的规律，因此，首先要判断是属于加载还是卸载。加载准则判断加载或卸载的条件。应变硬化材料的加载准则设某点当前的应力状态为ij，且满足屈服条件应力增量dij指向屈服面外，表示该点处于加载状态；应力增量dij指向屈服面内，表示该点处于卸载状态；应力增量dij与屈服面相切，表示变化后的应力点仍处于屈服面上，不产生塑性变形，称中性变载。,屈服函数的梯度向量与屈服面垂直，根据梯度向量与应力增量向量之间的夹角关系，可以得到应变硬化材料的加载准则：,理想塑性材料的加载准则理想塑性材料不存在初始屈服面外的应力点，应力增量不可能指向屈服面外。设某点当前的应力状态为ij，且满足屈服条件应力点保持在屈服面上，增量dij与屈服面相切，塑性变形可以任意增长，为加载；应力增量dij指向屈服面内，表示该点处于卸载状态；理想塑性材料的加载准则：,非准则屈服面的加载准则对于非准则屈服面的情况（由多个光滑屈服面构成的屈服面），当应力点位于光滑屈服面上时，加载准则与前面相同，当应力点位于两个光滑屈服面的交界处，则加载准则有所不同，对于理想塑性材料，其加载准则为：,普遍公式,张量形式弹塑性增量理论认为，在塑性状态的加载条件下，应力增量dij引起的应变增量dij应为弹性应变增量与塑性应变增量之和：弹性应变增量与应力增量之间服从广义虎克定律：将应变量式子的两侧乘以弹性张量：利用塑性势函数的概念，可以得到：,弹性张量,对于硬化材料，只有处于加载状态，即时，有，f为加载函数，可以假定：改写上式：为了消除，用上式得到的代入前面的式子里，得到：,硬化函数