01-数的整除教师

第一讲 数的整除及拓展【知识点归纳】1、 整数：用来表示物体的个数。如1 , 2 , 3,叫正整数；0表示没有物体。在正整数1 , 2 , 3,前面加上“”得到1 , 2 , 3,叫负整数。（注：0不是正整数，也不是负整数）0和正整数统称自然数。正整数，0，负整数统称整数。2、 整除：整数a除以整数b，如果商为整数且余数为0，则a能被b整除，或b整除a。用数学符号表述为：已知，（均为整数），若, 即, 称整除，记。 例如，。 思考：能否说2.6都被1.3整除？3、 倍数和因数：若整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b叫a的因数（或约数）。4、 偶数和奇数：能被2整除的数叫偶数；不能被2整除的数叫奇数。若n为整数，则2n为偶数，2n+1或2n-1为奇数。【随手练】1) 写出64和13的因数答：64的因数：1,2,4,8,16，32,64. 13的因数：1,13.（注：一个整数的因数中最小的数是1，最大因数是它本身）2) 在1, 2, , 100中能被4整除的数有哪些？有什么特点？答：4,8,12,16,20,24,28,28,36,40,44,48,52，96,100（共计25个）都是4的整数倍3) 在下列各数中找出既能被2整除又能被5整除的数，这些数有什么特点？12，25, 40, 75, 80, 94, 105, 210, 300 答：40,80,210,300，末尾个位上数字是：“0”【例题1】名同学报名参加志愿者活动，需平均分为若干组，每组不少于人，也不多于人，应该怎么分？解：不能被和整除，所以不能平均分. 而，所以应该每组人，共组.【练习1】，所以说能被 除尽 .（填“整除”或“除尽”或“除不尽”）【练习2】100中，既是2的倍数，又是3的倍数的数有 16 个 （共16个，即满足不大于的最大整数.）【练习3】某校体操队人，如果排成路纵队，且要每路纵队人数相等，那么至少还要增加多少或减少多少人？解：增加人或减少人.提示：排成路纵队，这个数是的倍数.【练习4】做整数的带余除法，被除数除以24，得商为121，要使余数最大，被除数应该是多少？解：因为余数一定比除数小，所以余数最大为23，故被除数=.【例题2】在1中，有多少个奇数？有多少个偶数？其中奇数之和与偶数之和谁大？大多少？解：由于是奇、偶交替排列的，从小到大两两配对：（1,2），（3,4）（1997，1998）还剩一个199，奇数的个数=（个），偶数的个数=（个）因为每对中的偶数比奇数大1,对共大，而，所以奇数之和比偶说之和大，大.【练习1】三个连续奇数的和是，夹在这三个奇数之间的两个偶数分别是 36、38 .【练习2】一个奇数与一个偶数的差一定是 奇数 .（填“奇数”或“偶数”）【练习3】（1）不算出结果，判断是奇数还是偶数？（2）数）能被整除，那么，里可填什么数？（3）下面的连乘积是偶数还是奇数？解：根据奇偶数的运算性质：（1） 奇数（2） 数）能被整数，则它一定是偶数，因为是奇数，所以数必是奇数.又因为其中的30是偶数，所以，数必为奇数.于是，里只能填奇数.（3） 偶数【知识点归纳】5、 数的整除特征 （1） 2（或5）的倍数：个位数是2（或5）的倍数。（2） 4（或25）的倍数：末两位上的数字是4（或25）的倍数（3） 8（或125）的倍数：末三位上的数字是8（或125）的倍数（4） 3（或9）的倍数：各个数位上的数字之和是3（或9）的倍数。（5） 11的倍数：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。思考：能被6整除数的特征呢？（6）能被7,11,13整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7,11,13整除那么这个数就能被7，11，13整除6、 整除的性质（1） 若，则；（2） 若，则；（3） 若， 则；（4） 若 则.【随手练】1) 在五个数中，能被整除的数是 18、20、30 ；能被整除的数是 15、18、30 ；能被整除的数是 15、20、30 ；能同时被整除的数是 18、30 ；能同时被整除的数是 15、30 ；能同时被整除的数是 20、30 ；能同时被整除的数是 30 ；2) 393除以一个两位数，余数是8，这样的两位数有多少个？写出所有符合条件的两位数。解：因为；被除数余数=除数商则；3938=385 一定被二位数整除根据；385= =可得；这样的两位数是11, 35, 55, 77。共4个3) 做整数的带余除法，被除数除以24，得商为121，要使余数最大，被除数应该是多少？解：因为余数一定比除数小，所以余数最大为23，故被除数=【例题3】已知四位数能被整除，则的值是多少？解：能被整除的数，它的各位数字之和是的倍数. 所以可以取.【练习1】能同时被整除的最小三位数是120 .【练习2】以内能同时被整除的整数中，最大的奇数和最小的偶数的和是 1005 .【练习3】用这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被整除的数是多少？解：可组成以下三位数：，共六中，符合条件的应该是.【练习4】某个五位数1234，能够同时被4和9整除，那么它的最后一位数是几？解：能被4整除，则最后两位数是40，44，48.能被9整除，则需要各个数位数字之和是9的倍数，经计算只有，所以最后一位数是8.【作业1】 六年级个小组帮果农收橘子，第一小组收了千克，第二小组收了千克，第三小组收了千克，第四小组收了千克.问：最少还应该收多少千克，就可以把全部橘子平均分成份？求出每份的重量.解：已收总数.要平均分成四份，这个数必须是的倍数末两位是的倍数，比609大，且是的倍数，则最小的数是.最少还应收千克.每份重量为千克.【作业2】 有50个数，它们分别是： ， ， .求：这50个数的整数部分的和.解：.【作业3】 小东在计算除法时，把除数87写成78，得到结果54，余数是8，正确的商和余数是多少？（48,44）【作业4】 若a，b都是正整数，且a除以5余2，b除以5余3，则除以5，得到的余数是（ A ） A.1 B.2 C.3 D.4【作业5】 393除以一个两位数，余数是8，这样的两位数有多少个？写出所有符合条件的两位数.解：因；被除数余数=除数商则；3938=385 一定被二位数整除根据；385= =可得；这样的两位数是11, 35, 55, 77.共4个【作业6】 证：三个连续的正整数之和一定能被整除.证明：设为大于的正整数，那么和它相邻的两个整数为三个数之和为三个连续的正整数之和一定能被整除.教师备用4) 有一个整数，用63，91，129分别去除以它，所得的三个余数之和为25，求这个整数。解：设这个数为x，且用63,91,129分别除以x得余数为a,b,c,那么x |（63a）,x |（91b），x | (129c),从而x | (63+91+129)（a+b+c）即x | (28325)=x |258又258=2129=386=643，经检验，只有x=43符合条件，故这个数是43。 5)