习题课线性代数17slides09

习题课九: 特征值与特征向量 线性代数(B) 11/12班 李梦璋李梦璋 北京学 数据研究院 mcmong 2017年1118 期中考试题选讲： 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量 矩阵的相似 矩阵相似的对化 习题讲解 提纲 期中考试选讲. 填空题 解： 1. 特征值与特征向量 定义： 对于阶矩阵，如果对于个数存在个零维向量使得 = 则称是矩阵 的个特征值，称为 的属于的个特征向量. 是矩阵的个特征值，是的属于的个特征向量 则 =，0 则 ()=0，0 则 是齐次线性程组()=0的个零解 则 |=0，是()=0的个零解 1. 特征值与特征向量 求解法： 第步：计算特征多项式| | 第步：解特征程|=0，若在数域上有根，则全部 根为的全部特征值；没有根，则特征值， 也特征向 量。 第三步：对于的每个特征值j，计算齐次程组 ()=0的个基础解系1,，是系数矩阵的 秩。 注：求特征程的根（特征值），再求对应根的齐次程组的基础解系 （特征向量）。 1. 特征值与特征向量 特征值、特征多项式的性质 f()= nn(a11+a22+ann)n-1 n + (1) f() 是首项系数为1的的n次多项式； (2) f() 的n-1 项系数是 (a11+a22+ann) 即A的主对角元素之和 (3) f() 的常数项为 f(0) = |0 * E - A|=|-A|= (-1)n|A| (4) 1+ 2+ + n= a11+ a22+ + ann 12n=|A| 矩阵的相似 定义 ： 与是阶矩阵，如果存在可逆矩阵，使得 =，则说 与相似，记作。 性质-相似矩阵的相似关系: (1)自反性AA; (2)对称性:若AB,则BA; (3)传递性:若AB,且BC,则AC. 性质-相似矩阵的简单性质: (1)若AB 则 |A|=|B|； (2)相似矩阵同时可逆或不可逆,可逆时其逆矩阵也相似. (3)相似矩阵的正整数幂仍相似. (4)可逆相似矩阵的整数幂仍相似. (5)相似矩阵具有相同的特征多项式. (6)相似矩阵有相同的迹. (7)相似矩阵有相同的特征值(包括重数). 矩阵相似对化 求可逆矩阵，使得 1 1 n UAU = = = ! 如果这样的可逆矩阵存在，则说A可(相似)对化. 重要定理 ： n阶矩阵可对化的充要条件是它具有n个线性关的特征向量。 设 A为阶实对称矩阵，则定能找到个正交矩阵 ， 使得1为对为对阵 习题选讲 习题选讲 习题选讲 习题选讲 习题选讲 习题选讲 补充题1. 1.设 TTT 123 (1,2,2) ,(2, 2,1) ,( 2, 1,2)= 都是3阶矩阵A的特征向量，特征值依次为1，2，3，求A. 补充题1. 1.由特征值和特征向量的定义得 122146 221243 , 212226 A = 两端取矩阵的转置 T 122122 221442 . 212636 A = AT是待求矩阵,用对增广矩阵做初等行变换的方法解矩阵方程, 补充题1. 122122122122 221442063282 212636033278 122122122122 0332780112/37/38/3 00966180012/32/32 T 1207/310/321007/302/3 01005/32/301005/32/3 , 0012/32/320012/32/32 7/302/3 05/32/3 , 2/32/32 7/302/3 05/32/3 . 2/32/32 A A = = 此题的A是对称矩阵,一般情形记得转置. 补充题2. 2.设实对称矩阵A满足 32 3,AAAEO+= 证明.AE= 补充题2. 32 32 32 2 2 2 2 2.3, 30 1 +(1)10, (1)(+ +1)+(1)(1)+(1)0, (1)(+3 +3)0, 10,+3 +3=0. =34 1 3=30, 1 , AAAEO A AE += += + = += = = 证明 设 是 的特征值，则， （） 或 对于二次方程，其判别式 故只有虚根，而实对称矩阵必相似于以其特征值为 对角线元素的对角矩阵，其特征值只有 ，故 即存 1 . P AP EPE = 在可逆矩阵 ，使得 补充题3. 补充题3. T 3. (1)11; (2)| 1,1 (3)|1,1 (1)0 ,|,1 |,1. (2)| 1, | | An AA nAA AA An AA AA nA AEAAA = = = = = 设 是一个 阶正交矩阵，证明： 如果 有特征值，则 的特征值是 或 如果 是奇数，且则 是 的一个特征值； 如果则- 是 的一个特征值. 证明 设 是一个 阶正交矩阵 . 设 是 的一个特征值，是 的属于 的一个特征向量， 如果 是奇数，且 T TTTT TTT TT |()| | | |() | | | ()| ( 1) |,| 0. (3)|1, ()() , | |() | |() | |, | 0,1 n A EA