13二次函数的性质与图像2教师版初二自招进度一

第第 13 讲讲 二次函数的性质与图像二次函数的性质与图像（2） 【知识点】 1. 抛物线cbxaxy 2 （其中cba、是常数，且0 a）的图像性质如下： （1）对 称 轴：直线 a b x 2 ； （2）顶 点： （ a bac a b 4 4 2 2 ，） ； 2. 二次函数的解析式有三种常见形式： （1）一般式：cbxaxy 2 （cba，是常数，0 a） ； （2）顶点式： khxay 2 （kha，是常数，0 a） ，其中（kh，）为顶点坐 标； （3）交点式： 21 xxxxay （ 21 xxa，是常数，0 a） ，其中 21 xx ，为抛物 线与x轴的两个交点的横坐标。 3.3. 平移变换： （1）左右平移变换（左加右减） 把函数)(xfy 的图像向左平移a个单位， 得到的新图像解析式为)(axfy ； 向右平 移a个单位，得到的新图像解析式为)(axfy （0 a） 。 （2）上下平移变换（上加下减） 把函数)(xfy 的图像向上平移a个单位， 得到的新图像解析式为axfy )(； 向下平 移a个单位，得到的新图像解析式为)0()( aaxfy。 4.4. 对称变换（与点对称坐标变换相似） ： （1）函数)(xfy 的图像关于x轴对称的新图像解析式为)(xfy ； （2）函数)(xfy 的图像关于y轴对称的新图像解析式为)( xfy ； （3）函数)(xfy 的图像关于原点对称的新图像解析式为)( xfy . 5.5. 翻折变换： （1）左右翻折变换 把函数)(xfy 的图像y轴左侧图像去掉右侧图像保留，再作其关于y轴的对称图像，得 到的新图像解析式为)( xfy ； （2）上下翻折变换 把函数)(xfy 的图像x轴上方图像保留，下方图像翻折到x轴上方去，得到的新图像解 析式为)(xfy 【例题精讲】 【例题1】已知函数 2 3 2 1 2 xxy （1）求函数图像的顶点坐标和对称轴； （2）求函数图像与坐标轴的交点坐标； （3）作出函数的图像。 解： （1）2)1( 2 1 2 3 )2( 2 1 22 xxxy 函数图像的顶点坐标是)21( ，对称轴为直线1 x。 （2） 当0 x， 得 2 3 y； 当0 y，1 1 x，3 2 x， 即函数图像与y轴交于点) 2 3 0( ， 与x轴交于)01(， ，)03( ，。 （3）0 2 1 a，抛物线开口向下，再由顶点坐标，对称轴及两坐 标轴的交点坐标作函数图像如图。 【例题2】根据下列条件，求二次函数的解析式： （1）函数图像经过点)11( ，、)112( ，、)10( ，； （2）函数图像经过点)30( ，、)01( ，、)03( ，； （3）函数图像的顶点坐标是)21( ，且经过点)101( ，。 （4）已知抛物线与x轴交于点)03(， M、)05( ，且与y轴交于点)30( ，； （5）已知抛物线的顶点为)2, 3( ，且与x轴的两交点间的距离为4。 解： （1）运用“一般式”求得解析式为：13 2 xxy； （2）运用“交点式”求得解析式为：34 2 xxy； （3）运用“顶点式” 求得解析式为： 213 2 xy。 （4）)5)(3( 5 1 xxy ( 5 )每个交点到对称轴的距离为2， 所以交x轴于)01( ，和)05( ，。 解析式为2)3( 2 1 2 xy 【例题3】已知两个二次函数 1 y和 2 y， 当)0( aax时， 1 y取得最大值5， 且25 2 y， 又 2 y的最小值为2 ，1316 2 21 xxyy。 求a的值及二次函数 1 y、 2 y的解析式。 解：设5)( 2 1 axmy，则5)(1316 22 2 axmxxy 又当ax 时，25 2 y，即25816 2 aa 解得：1 1 a或17 2 a（舍） 5)1(1316 22 2 xmxxy)8()216()1( 2 mxmxm 。 2 y的最小值为2 ，所以有 2 )1(4 )8(4)8)(1(4 2 m mmm 解得：2 m 所以10123342 2 2 2 1 xxyxxy，。 【例题4】（1）将抛物线 52 2 1 2 xy向右平移3个单位，再向上平移两个单位，求 所得抛物线的解析式。 （2）把抛物线nmxxy 2 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的 表达式是22 2 xxy，求nm、。 提示：平移变换，首先要搞清楚谁移向谁，如果已知平移后的结果，那么就按原题描述的反 方向平移回去，即得原图像。 答案： （1）3)1( 2 1 2 xy（2）6 ，13。 【例题5】把抛物线cbxaxy 2 向左平移3个单位，向下平移2个单位后，所得抛物 线为 2 axy ，其图像经过点) 2 1 1( ，求原解析式。 解：抛物线 2 axy 经过点) 2 1 1( ，可得 2 2 1 xy 。 由题意可知，抛物线cbxaxy 2 应由 2 2 1 xy 向右平移3个单位，向上平移2个 单位后得到。所以原解析式为 2 5 3 2 1 2)3( 2 1 22 xxxy。 【例题6】抛物线 2 3xy 分别关于x轴、y轴及坐标原点对称后的函数解析式分别为： 解： 2 3xy ； 22 3)(3xxy ； 22 3)(3xyxy 即即. 【例题7】求下列函数分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的函数解析式。 （1）54 2 xxy （2） 13 4 x y 分析： （1）1)2(54 22 xxxy分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的函数 解析式为：1)2( 1)2( 22 xxy； 1)2(1)2( 22 xxy；1)2(1)2( 22 xyxy即即。 （2） 13 4 x y分别关于x轴、y轴及坐标原点对称的函数解析式为 13 4 x y； 13 4 x y； 13 4 13 4 x y x y即即。 【例题8】（1）将函数3 2 1 2 xy图像x轴上方图像保留，下方图像翻折到x轴上方， 求得到的图像的解析式。 （2）将函数3 2 1 2 xy图像x轴下方图像保留，上方图像翻折到x轴下方，求得到的图 像的解析式。 （3）说明经过（1）与（2）变换后所得到的两个新图像之间的关系？ 解： （1）3 2 1 2 xy （2）3 2 1 2 xy （3）经过（1）与（2）图像变换后所得到的新图像关于x轴对称。 【例题9】已知函数)(xfy 的图像如图所示，根据图像变换的性质，请在坐标系下作出 函数)1( xfy的图像。保留作图痕迹并写出作法。 解：作图方法：先将函数)(xfy 的图像向左平移1个单位得到)1( xfy的图像；再 将函数)1( xfy的x轴上方的图像保留， 下方图像翻折到上方， 得到的图像即为所求。 所以图中实线部分即为所求作的函数)1( xfy的图像。 【例题10】函数1 axy与1 2 bxaxy（0 a）的图像可能是（ ） 【答案】C x y 1 1 o 【例题11】二次函数cbxaxy 2 的图像如图所示，则一次函数acbxy 与反比例 函数 x cba y 在同一坐标系内的图像大致为（ ） 【答案】B 【例题12】已知抛物线cbxaxy 2 的一段图像如图所示。 （1）确定cba、的符号； （2）求cba 的取值范围。 解： （1）由抛物线开口向上，0 a， 又抛物线经过点（0，-1） ，01 c 抛物线的对称轴在y轴的右侧，0 2 a b ， 结合0 a，0 b。 0, 0, 0 cba （2）设cbxaxxf 2 )(，由图像及（1）可知 1 0 0 0)1( c b a c