15 因式分解九教师初一自招

第十五讲因式分解（9）待定系数法待定系数法是数学中的一个重要的解题方法利用待定系数法可以解决许多数学问题一、待定系数法的意义及原理1、恒等式：恒等式就是当用任何数值代替式中的字母时，都能使等式左右两边的值相等的等式例如学过的乘法公式（ab）（ab）a2b2，（ab）2a22abb2都是恒等式2、恒等式性质性质（1）：若a0xna1xn1an1xanb0xnb1xn1bn1xbn，那么a0b0，a1b1，an1bn1，anbn（比较系数）性质（2）：a0xna1xn1an1xanb0xnb1xn1bn1xbn，则利用x的取值范围内的任一值代x，其左右两边的值恒相等（赋值法）3、待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法其实质就是对于含有待定系数的恒等式，利用恒等概念和恒等定理，采用系数比较法或数值代入法二、待定系数法在分解因式中的应用因式分解是一种重要的恒等变形，有些复杂的多项式因式分解需要借助于待定系数法，其解题步骤如下：第一步：设原多项式分解为含待定系数的因式的积；第二步：采用系数比较法列出含待定系数的方程或方程组，解方程或方程组求出待定系数的值，使问题得到解决或者，采用赋值法，列出含待定系数的方程或方程组，解这个方程或方程组，求出待定系数的值，使问题获得解决 例1 分解因式x4x36x2x15分析：这是x的四次五项式，若能分解因式，则第一步可分解为两个二次式的积或一个一次式与一个三次式的积，利用待定系数法先就第一种可能形式试一试如果第一种形式是可能的，由于在同一数集上多项式因式分解的形式是惟一的，不必再试第二种形式，否则按第二种形式再去求解解：设x4x36x2x15（x2axb）（x2cxd）x4（ac）x3（bdac）x2（adbc）xbd比较两边对应项的系数，得，由（4）可得 将代入（3）得 （5）由（5）与（1）解得是方程组（1）、（3）、（4）的一组解，且能使（2）成立x4x36x2x15（x2x3）（x22x5）注意：（1）为什么由得到的都是整数解，而没有非整数解呢？一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式的乘积，那么也一定能分解为两个整系数的因式的积所以，我们只需要讨论它有无整系数的因式就可以了（2）为什么由没有得到这些解呢？在此题中、的次序无关紧要，我们可以认为只有 这四种情况（3）是由方程组（1）、（3）、（4）的的一组解，但必须使（2）成立，才能确定分解式的系数，否则就必须用方程（4）的其余几个解代入，直至使（2）成立例2 分解因式2a（a1）2a4a21例3 如果a，b是整数，且x2x1是ax3bx21的因式，求b的值解：x2x1是ax3bx21的因式，设ax3bx21（x2x1）（ax1）即ax3bx21ax3（a1）x2（1a）x1比较系数得，解得例4 试讨论对于哪些m值，x2xy4xmy能分解成两个一次因式的积？解：原式中不含常数项，故设x2xy4xmy（axby）（cxdye）展开得x2xy4xmyacx2（bcad）xybdy2aexbey比较系数得由（3）得b0或d0若b0，则由（5）知m0，这时原式x（xy4）；若d0，则由（2）知bc1，再由ac1，ab由（5）知，aemae4，m4原式x2xy4x4y（xy）（x4）综上，当m0或m4时，原式可分解为两个一次因式的积法二：设x2xy4xmy（xay）（xbyc）x2（ab）xycxaby2acy比较系数得由（3）得a0或b0当a0时，m0当b0时，由（1）得a1，c4，m4m0或4.例5 如果x27xyay25x43y24可分解为两个一次因式的积，求a的值解：原式中x25x24（x8）（x3）可设x27xyay25x43y24（xmy8）（xny3）即x27xyay25x43y24x2（mn）xymny25x（3m8n）y24比较系数得由（1）、（3）解得m9，n2，代入（2）得a18例6 已知x33x22xykx4y可分解为一次因式与二次因式之积，求k的值解：x33x22xykx4yx33x2kx（2xy4y）x（x23xk）2y（x2）要使此式可分解，则x23xk应含有因式x2即设f（x）x23xk，有f（2）0，46k0k2例7 若a是自然数，且a44a315a230a27的值是一个质数，求这个质数解：由待定系数法解得 a44a315a230a27（a23a3）（a2a9）由于a是自然数，且a44a315a230a27是一个质数又a23a3a2a9a23a31 解得a1或a2当a1时，a2a99不是质数；当a2时，a2a911是质数这个质数为11例8 求证：8x22xy3y2可化为具有整系数的两个多项式的平方差证：设8x22xy3y2A2B2（其中A、B为两个多项式），则（2xy）（4x3y）（AB）（AB）不妨设：解得A3xy，B2yx即8x22xy3y2（3xy）2（2yx）2例9 已知x55qx4r能被（xc）2整除求证：q5r4证：设x55qx4r（xc）2（x3ax2bx）展开，比较两端同次项系数得由（1）、（2）得a2c，b3c2代入（