合情推理与演绎推理

第一节合情推理与演绎推理,基础梳理,1.归纳推理(1)归纳推理的定义从中推演出的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程大致如图.(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是,归纳所得的结论是,该结论超越了前提所包容的范围.,实验、观察,概括、推广,猜测一般性结论,个别事实,一般性,几个已知的特殊现象,尚属未知的一般现象,由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过和,因此,它不能作为的工具.归纳推理是一种具有的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们问题和问题.,2.类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理.(2)类比推理的思维过程是:,3.演绎推理(1)演绎推理是一种由的命题推演出的推理方法.(2)演绎推理的主要形式是三段论式推理.,观察、比较,联想、类推,猜测新的结论,逻辑证明,实践检验,数学证明,创造性,发现,提出,一般性,特殊性命题,(3)三段论的常用格式为其中,是,它提供了一个一般性的原理;是,它指出了一个特殊对象;是,它是根据一般原理,对特殊情况作出的判断.,典例分析,题型一归纳推理【例1】如图所示：一个质点在第一象限运动,在第一秒钟内它由原点运动到（0，1），而后接着按图所示在与x轴,y轴平行的方向上运动，,M-P(M是P),S-M(S是M),S-P(S是P),大前提,小前提,结论,且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是.,分析归纳走到（n,n）处时，移动的长度单位及方向.,解质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2,方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4,方向向上；质点到达（3,3）处，走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右；质点到达（4,4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上；猜想：质点到达(n,n)处，走过的长度单位是2+4+6+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.所以2000秒后是指质点到达（44,44）后，继续前进了20个单位，由图中规律可得向左前进了20个单位,即质点位置是（24,44）.,学后反思归纳推理分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对科学的发现是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,乃是科学研究的最基本的方法之一.,1.在数列an中，a1=1,nN*,试猜想这个数列的通项公式.,举一反三,解析:,，猜想：.,题型二类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.,分析实数的加法所具有的性质，如结合律、交换律等，都可以和向量加以比较.,解（1）两实数相加后，结果是一个实数,两向量相加后，结果仍是向量;（2）从运算律的角度考虑，它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a,a+b=b+a,（a+b）+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算，即a+x=0与a+x=0都有惟一解，x=-a与x=-a；,（4）在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a+0=a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向,即a+0=a.,学后反思(1)类比推理是个别到个别的推理，或是由一般到一般的推理.(2)类比是对知识进行理线串点的好方法.在平时的学习与复习中，常常以一到两个对象为中心，把它与有类似关系的对象归纳整理成一张图表，便于记忆运用.,2.类比圆的下列特征，找出球的相关特征.,举一反三,（1）平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;（2）平面内不共线的3个点确定一个圆；（3）圆的周长和面积可求;（4）在平面直角坐标系中,以点（x0,y0）为圆心，r为半径的圆的方程为（x-x0）2+(y-y0)2=r2.,解析:（1）在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球;（2）空间中不共面的4个点确定一个球;（3）球的表面积与体积可求;（4）在空间直角坐标系中，以点(x0,y0,z0)为球心，r为半径的球的方程为（x-x0）2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.,证明设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=(+bx2)-(+bx2)=(x2-x1)(-b)当0x1x2时，则x2-x10,0x1x2,b,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在(0,上是减函数；当x2x1时，则x2-x10,x1x2,b,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)在,+）上是增函数.,分析利用演绎推理证明,根据单调性的定义分情况讨论.,题型三演绎推理【例3】(14分)已知函数f(x)=+bx,其中a0,b0,x(0,+)，试确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性.,学后反思这里用了两个三段论的简化形式，都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大前提是增函数定义，小前提分别是f(x)在(0,上满足减函数的定义和f(x)在,+)上满足增函数的定义，这是证明该问题的关键.,3.用三段论证明函数f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,举一反三,证明：设x1(-,1,x2(-,1,x1x2,则x2-x10.f(x2)-f(x1)=(-x22+2x2)-(-x12+2x1)=x12-x22+2x2-2x1,=(x1+x2)(x1-x2)+2(x2-x1)=(x1-x2)(x1+x2-2).x1x21,x1+x22,x1+x2-20,(x1-x2)(x1+x2-2)0.则f(x2)-f(x1)0f(x2)f(x1),f(x)=-x2+2x在(-,1上是增函数.,易错警示,【例】在RtABC中，三边长为a,b,c,则c2=a2+b2.类比在三棱锥中有何结论?,错解在三棱锥VABC中,有S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC,错解分析错解错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形，在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.,正解在三棱锥V-ABC中，VAVBVC,则S2VAB+S2VBC+S2VAC=S2ABC.,考点演练,10.(2010衡水模拟)设函数f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(-5)+f(0)+f(5)+f(6)的值.,解析：由题意知:f(x)+f(1-x)=f(-5)+f(0)+f(6)=f(-5)+f(6)+f(-4)+f(5)+f(-3)+f(4)+f(-2)+f(3)+f(-1)+f(2)+f(0)+f(1)=.,11.观察下列等式:sin210+cos240+sin10cos40=;sin26+cos236+sin6cos36=.由上面两题的结构规律,你是否能提出一个猜想?并证明你的猜想.,解析：由可看出,两角差为30,则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想,若-=30,则=30+,sin2+cos2+sincos=.也可直接写成:sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=.证明:左边=+sincos(+30)=+sin(coscos30-sinsin30),=-cos2+cos2-sin2+=右边,故sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=.,12.(创新题)小朋用第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”摆出如图(1)、(2)、(3)、(4)这四个图案,现按同样的方式构造图形,设第n个图形包含f(n)个“福娃迎迎”.(1)试写出f(5)、f(6)的值;(2)归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并求出f(n)的表达式;(3)求证:,解析:(1)f(5)=1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,f(6)=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1