十一章第一节欧几里得空间上的基本定理

第十一章:Euclid空间的极限和连续,第一节：Euclid空间的基本定理,主要内容,（1）n维空间及物理意义,实数x,数轴点.,数组(x,y),实数全体表示直线(一维空间),平面点,(x,y)全体表示平面(二维空间),数组(x,y,z),空间点,(x,y,z)全体表示空间(三维空间),推广：,n维数组(x1,x2,xn),全体称为n维空间，记为,一、Eucid空间点集相关概念,（3）Euclid空间,在n维空间Rn上定义加法和数乘运算：,（2）向量空间,则Rn成为向量空间。,在n维向量空间Rn上定义内积运算：,则Rn成为Euclid空间。其中内积有如下性质：,(i)正定性：0,而=0当且仅当x=0;(ii)对称性:=;(iii)线性性:=a+b;(iv)Schwarz不等式:2.,（4）Euclid空间中的距离定义：,(5)距离有下面的性质:(i)正定性:|x-y|0,|x-y|=0当且仅当x=y;(ii)对称性:|x-y|=|y-x|;(iii)三角不等式:|x-z|x-y|+|x-z|;,一、平面点集,R中邻域,（1）R2邻域,点的去心邻域定义为：,平面点集：,(2),(3),Rn中的邻域,Rn中点列收敛概念:,定义:设xk是Rn中的点列,若存在Rn中的点a,使得对于任意的,存在正整数K,成立,则称xk收敛于a或者a是xk的极限.记为,定理:的充分必要条件是Limkxik=ai.,定义：设S是Rn上的点集，如果存在正数M，使得对任意xS,有|x|M,则称S是有界集。否则称为无界点集.,有界；,无界,例如，,（2）区域,例如，,即为开集,内点.,内点：,开集：,开集.,边界点：,边界点.,连通：,连通的.,开区域：连通的开集称为区域或开区域,例如，,（3）聚点,（1）内点一定是聚点；,说明：,（2）边界点可能是聚点,也可能不是聚点；,例如，,(0,0)既是边界点也是聚点,若在x的一个邻域，只有xE，则称x是E的孤立点。,（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0)是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,点x是E的聚点的充分必要条件是存在E的点列xn,xnx,且xn的极限等于x.,例如，,闭区域：,例：证明:对任何,恒为闭集.,证如图所示,设,的任一聚点，欲证,为闭集,注类似地可以证明:对任何点集,亦恒为闭集.,点集E的直径的定义：,对于一个集合E，按照上面的方式定义直径是合理的，因为当E是圆盘时，diam(E)=直径。,点集的一些性质:,(1)x是S的聚点的充分必要条件是:存在S的点列xk|xkS,xkx,使得Limkxk=x.,(2)S为闭集的充分必要条件为Sc是开集.,(3)任意组开集的并是开集;,(4)任意组闭集的交是闭集;,(5)有限个开集的交是开集;,(6)有限个闭集的并是闭集;,DeMorgan公式:设Sa是(有限或者无限)Rn中的子集合,则,二、Euclid空间基本定理,（1）闭矩形套定理11.1.6:设,是一列,矩形套，如果,则存在唯一点a每个k.,（2）Cantor闭区域套定理11.1.6:设,是一列,闭区域套，如果,则存在唯一点a每个Sk.,（3）一个应用及其推广：,Bolzano-Weierstrass定理11.1.7：,定理：Rn上的有界点列xn必有收敛子列。证明：,推论：Rn上的有界无限点集至少有一个聚点（聚点定理）。,Cauchy收敛原理11.1.8：,定义：Rn中的点列xn满足：对于任意的0,存在正整数K，使得对任意的k,lK,成立|xl-xk|，称xk为基本列（或者Cauchy列）。,定理：Rn中的点列Pn收敛的充分必要条件是：Pn是基本列。,证（必要性）,应用三角形不等式,立刻得到,这说明xn和yn都满足关于数列的柯西准则,所以它们都收敛.,由点列收敛概念,推知Pn收敛于点P0(x0,y0).,Heine-Borel定理11.1.9（紧集判断定理）：,定义：设S是Rn的一个子集，如果Rn中的一组开集Ua|aA满足aAUa包含S，称Ua是S的一个开覆盖。如果S的每个开覆盖Ua中总存在一个有限的子覆盖，称S是紧集。,定理：S是紧集的充分必要条件是：S是有界闭集。,三个等价结论11.1.10：,定理：设E是Rn的子集合，那么以下三个命题等价（1）E是有界闭集合；（2）E是紧集合；（3）E的任意无限子集在E中必有聚点。其中(1)和（2）的等价性由Heine-Borel定理给出。,闭集,所以该聚点必属于E,(3)(1)先证E为有界集.倘若E为无界集,则,存在各项互异的点列,再证E为闭集.为此设P0为E的任一聚点,由聚,点的等价定义,存在各项互异的点列使,现把看作,由条件的聚点(即)必,属于E,所以E为闭集.,E至少有一个聚点.,证现用闭域套定理来证明.由于E有界,因此存,分成四个相同的小正方形,则在其中至少有一小闭,正方形含有E中无限多个点,把它记为D2.再对,D2如上法分成四个更小,的正方形,其中又至少有,一个小闭正方形含有E,的无限多个点.如此下去,得到一个闭正方形序列：,很显然,Dn的边长随着,而趋于零.于是由闭域套定理,存在一点,最后,由区域套定理的推论,又由Dn的取法,知道,含有E的无限多个点,这就证得了M0是E的聚点.,作业：,第119页：第2,4,5,8,13,14题,本节涉及数学家：,Euclid:古希腊数学家，公元前330年生于雅典，代表作：几何原本，十三卷。公元前275年卒。Cantor:德国数学家，1845年生于德国，集合论的创始人。1918年卒。Weieratrass:19世纪下半叶德国数学家，生于1815年德国，数学分析大师，一是建立了实数理论，二是建立了极限理论。1897年卒。,AugustusDeMorgan:1806-1871，生于India,移住英国，主要著作FormalLogic，首先使用规范数学归纳法,对数学的贡献很多，见/projects/reals/history/demorgan.html。ReneDescartes:1596-1650,法国,西方近代资产阶级哲学的奠基人之一,数学家,自然科学家.是他的公开发表的唯一的数学著作标志着解析几何的诞生.恩格斯说:“数学的转折点是迪卡尔的变数.”,Bolzano：1781-1848，捷克数学家http:/www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Bolzano.html,与Weierstrass有过合作研究,主要贡献在数学和哲学。Heine：1821-1881，德国数学家，主要贡献在给出一致连续概念，研究兴趣在sphericalfunctions,Lamfunctions,andBesselfunctions.发表超过50篇论文。Borel：1871-1956，法国数学家，主要研究为测度论、概率论（Borel集是其提出的典型集合），oneofthefoundersofthetheoryoffunctionsofrealvariables。http:/