3 1微分中值定理

1,第三章微分中值定理与导数的应用,因为导数是函数随自变量变化的瞬时变,所以可借助导数来研究函数.,但每一点,的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态,还需架起新,的“桥梁”.,中值定理(meanvaluetheorem),化率,2,罗尔定理,拉格朗日中值定理,小结思考题作业,柯西中值定理,第一节微分中值定理,第三章微分中值定理与导数的应用,3,几何事实:,有水平的切线,4,罗尔定理,(1),(2),(3),罗尔Rolle,(法)1652-1719,使得,一、罗尔(Rolle)定理,5,费马引理,费马Fermat,(法)1601-1665,有定义,如果对,有,那么,证,对于,有,6,费马引理,有定义,如果对,有,那么,由极限的保号性,函数的,驻点(Stationarypoint),稳定点,临界点(Criticalpoint).,7,证,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,所以最值不可能同时在端点取得.,使,有,由费马引理,8,(1)定理条件不全具备,结论不一定成立.,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,在该点处的切线,平行于弦,二:拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,10,证,作辅助函数,由此得,拉格朗日中值公式,且,易知,微分中值定理,11,推论,证,有,由条件,即在区间I中任意两,点的函数值都相等,所以,拉格朗日中值定理的应用,12,注意,弦的斜率,切线斜率,(3),13,例,证,零点定理,即为方程的小于1的正实根.,(1)存在性,14,(2)唯一性,对可导函数f(x),f(x)=0的两实根之间,在方程,的一个实根.,罗尔定理还指出,至少存在方程,满足罗尔定理的条件.,矛盾,故假设不真!,15,例,试证方程,分析,注意到:,16,证,设,且,罗尔定理,即,试证方程,17,例,证,由推论,自证,说明,欲证,只需证在,上,且,使,18,例,证,如果f(x)在某区间上可导,要分析函数在该区间上任意两点的函数值有何关系,通常就想到微分中值定理.,记,利用微分中值定理,得,19,例,证,由上式得,设,由,关键,满足拉氏定理的条件,20,例,证,分析,结论可变形为,即,满足柯西中值定理条件,21,罗尔定理,拉格朗日中值定理,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西中值定理之间的关系:,推广,推广,这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.,而,成立;,不成立.,定理,也可能,22,应用三个中值定理常解决下列问题,(1)验证定理的正确性;,(2)证明方程根的存在性;,(3)引入辅助函数证明等式;,(4)证明不等式;,(5)综合运用中值定理(几次运用).,关键逆向思维,找辅助函数,23,思考与练习,1.填空题,1)函数,在区间1,2上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2)设,有,个根,它们分别在区间,上.,方程,24,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,25,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,26,作业,习题3-1(134页),5.7.8.10.,27,费马(16011665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,一直过了300多年才证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,28,拉格朗日(17361813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,29,柯西(17891857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何