高中数学导数与积分题型大总结

导数的应用1函数的单调性(1)利用导数的符号判断函数的增减性注意：在某个区间内，f(x)是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f(x)0。(2)求函数单调区间的步骤确定f(x)的定义域；求导数；由（或）解出相应的x的范围当f(x)0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应区间上是减函数2函数的极值(1)函数的极值的判定如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；极大值与极小值判断3求函数极值的步骤确定函数的定义域；求导数；在定义域内求出所有的驻点，即求方程及的所有实根；检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值4函数的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)内一点处取得的，显然这个最大值（或最小值）同时是个极大值（或极小值），它是f(x)在(a，b)内所有的极大值（或极小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端点a或b处取得，极值与最值是两个不同的概念(2)求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值7. 注意事项（1）函数图像看增减，导数图像看正负。（2）极大值不一定比极小值大。高阶导数的求法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数.一般用来寻找解题方法。【例题解析】考点1 导数的概念【例1】 是的导函数，则的值是【例2】.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考点2 曲线的切线（1）关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.（2） 关于两曲线的公切线 ：若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【例3】.已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故【例4.】若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D【例5】过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 【例6】已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 曲线在点Q的切线方程是即若直线是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是的方程，故得，消去得方程， 若=，即时，解得，此时点P、Q重合.当时，和有且只有一条公切线，由式得公切线方程为 .考点3 导数的应用1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;5.构造函数证明不等式.典型例题【例7】.函数定义域为开区间，导函数在内图象如图，则函数在开区间内有极小值点（）A1个 B2个 C3个D 4个【例8】 设函数在及时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围解答过程：（），因为函数在及取得极值，则有，即解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为【例9】函数的值域是_.解答过程：由得，即函数的定义域为.，又，当时，函数在上是增函数，而，的值域是.【例10】已知函数，其中为参数，且（1）当，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围解答过程（）当时，则在内是增函数，故无极值.（），令，得.由（），只需分下面两种情况讨论. 当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：x0+0-0+极大值极小值因此，函数在处取得极小值，且.要使，必有，可得.由于，故.当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值因此，函数处取得极小值，且若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 或 由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.综上，解得或.所以的取值范围是.【例11】设函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.解答过程由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.【例12】已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如图所示.求：（）的值；（）的值.解答过程解法一：（）由图像可知，在上，在上，在上,故在上递增，在上递减，因此在处取得极大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）设又所以由即得所以【例13】设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，.若存在使得成立，求的取值范围.解答过程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得 32(a2)3ba e330，即得b32a，则 f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是极值点，所以x+a+10，那么a4.当a3x1，则在区间（，3）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（a1，）上，f (x)4时，x23x1，则在区间（，a1）上，f (x)0，f (x)为增函数；在区间（3，）上，f (x)0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在区间0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只须仅须（a2）（a6）0，解得0a.故a的取值范围是（0，）.【例14】 已知函数，在处取得极大值，在处取得极小值，且（1）证明；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。解答过程求函数的导数（）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根所以当时，为增函数，由，得（）在题设下，等价于即化简得此不等式组表示的区域为平面上三条直线：所围成的的内部，其三个顶点分别为：ba2124O在这三点的值依次为所以的取值范围为考点4 导数的实际应用【例15】.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解答过程设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。【例16】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 曲边梯形的面积与定积分例1（1）已知和式当n+时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（）AB C D（2）下列定积分为1是（）A B C D（3）求由围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（）A0，B0，2 C1，2D0，1（4）由y=cosx及x轴围成的介于0与2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 （5）计算= 。 例2利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）； （2）； （3）利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小， ， 。 例3计算下列定积分：； ； 。例4 利用定积分表示图中四个图形的面积：xOay = x2 l (1)xO21y = x2 (2)yyy=(x-1)2 -1Ox12(3)xabOl y = 1(4)yy 【练习】1下列定积分值为1的是（）AB。C。D。2=（）A0B。CD。3设连续函数f(x)0，则当ab时，定积分的符号（ ）A一定是正的B当0ab时为正，当ab0时为负C一定是负的D当0ab时为负，当ab0时为正4由直线，及轴所围成平面图形的面积为（）AB。CD。5和式当n+时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为 。6曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为7计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+n2=）8求由曲线与所围的图形的面积.9计算，其中,10弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功曲边梯形的面积与定积分 A组1若是上的连续偶函数，则 （）AB0CD2变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为，则当秒末它所在的位置为（）ABCD3由直线，及轴所围成平面图形的面积为（）ABCD4设且，给出下列结论：A0；B0；。其中所有正确的结论有 。5设函数f (x)的图象与直线x =a, x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积。已知函数ysinnx在0，（nN*）上的面积为。ysin3x在0,上的面积为 ；ysin（3x）1在，上的面积为 。6求由曲线与所围的图形的面积。7试根据定积分的定义说明下列两个事实：；。8物体按规律（m）作直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10（m/s）时阻力为2（N），求物体从x=0到x=2阻力所做的功的积分表达式 曲边梯形的面积与定积分B组1如果1kg力能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，则力所作的功为（）A0.18kgmB0.26kgmC0.12kgmD0.28kgm2已知ba，下列值：，|的大小关系为（）A|B。|C= |=D= |3若与是上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线x=a, x=b所围图形的面积（）ABC，D4给出下列命题：若0，ba，则f(x)0；若f(x)0，ba，则0；若=0，ba，则f(x)=0；若f(x)=0，ba，则=0；若=0，ba，则f(x)=0。其中所有正确命题的序号为 。5给出下列定积分：，其中为负值的有 。6求由曲线所围图形的面积。7计算：。8试问下面的结论是否成立？若函数f(x)在区间a，b上是单调增函数，则。若成立，请证明之；若不成立，请说明理由。【典型例题】例1（1）B（2）C3B。（4）或。（5）。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。 例2（1）正 (2)正 (3)负。 。 例3 (1)； (2) ；(3)0 ；(4)0。 例4 (1) ； (2) ； (3) ；(4) 【课内练习】1C。2A。提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分的几何意义知，面积的代数和为0。3A。4C。5。6。