漫谈数学基本思想史宁中.ppt

漫谈数学的基本思想,史宁中,东北师范大学，长春，130024,一、数学思想与数学文化文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。思想是本质的，无思想则无文化。数学课标：双基四基、两能四能基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+发现问题、提出问题,大学的数学教学也要关注培养学生的思维方法：创新的根本。思维方法的教育：数学思想+思维经验。数学思想方法是什么？通常认为的数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。,二、数学的基本思想数学产生与发展所依赖的思想；学习数学以后具有的思维能力。抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。推理：促进数学内部的发展；推理能力强。模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。,抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念；运算方法和运算之间的运算法则。亚里士多德：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。,数量的第一步抽象数量数。2匹马、2头牛2。数量的本质多与少数的本质大与小刻画大小的序关系自然数、加法有理数分数：部分与整体；线段长度之比加法四则运算自然数整数、有理数、实数如何定义实数？运算？连续性？抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现；唯名论(亚里士多德)，数学是发明。抽象了的东西是存在的：抽象的存在。,数量的第二步抽象变量、极限运算如何理解如何解释导数：牛顿(16761666)提出，最初的解释是利用无穷小。问题：什么样的函数可导？明确函数定义+明确极限定义符号表达1755年，欧拉的变量说，初中。抽象不够问题f1(x)=shi2x+cos2x和f2(x)=1表达是一个函数，还是两个函数？1851年，黎曼的对应说，高中。新概念和物理背景函数对应集合集合：所要研究对象的全体？罗素悖论,极限运算1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。可以理解：当n时1/n0；很难理解：当n时x0。函数连续，当xx0时f(x)f(x0)？1.任何数列xnx0，都有f(xn)f(x0)。2.任意0，存在0，当x-x0时f(x)f(x0)则称f(x)在x0处连续。两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？,清晰定义实数清晰定义无理数重新定义有理数有理数分数形式小数形式：有限+无限循环(极限)无理数：无限不循环小数如何判断(百,千)实数有理数+无理数如何计算：23=23？用小数验证？-2-3=(-2)(-3)？如何理解：连续实数与数轴一一对应？,1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。解决实数的运算假定有理数列ana,bnb。根据极限的性质有an2a,bn2b，an2bn2ab则有理数列an2bn2(anbn)2确定实数ab所以有理数列anbn确定实数ab，即ab=ab,1872年，戴德金分割。解决实数的连续性算术公理化系统：九个公理(皮亚诺，1889年)，定义了自然数和加法。证明43。第7公理：a=b，则a+1=b+1；第8公理：a+11。集合公理化系统：九个公理：ZF系统(策梅罗1908年弗兰克尔集合论基础)定义：用符号表达的集合、空集、关系、运算；#选择公理(几乎所有数学分支的基本定理)。实现了数学的符号化、形式化、公理化。,形式化与直观的矛盾数学是创造直观认为集合测度至少要满足下面四个条件：令是由实数集合构成的类，m是类中的集合测度，那么1零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。2单调性。对于中的两个集合A和B，如果BA，那么m(B)m(A)。3可列可加性。对于中的两个集合A和B，如果AB=O，那么m(AB)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。4平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平移变换，则这两个集合的测度相等，即BB(c,A)=b=c+a;aAm(B)=m(A)。,直观认为用区间长度来定义集合测度是自然的，即定义：m(a,b)=b-a。如果不满足，原因不在定义而在标准。检验四个条件。条件1：零测度。因为单点集(a,a是一个空集，则m(a,a)=0。条件2：单调性。区间长度显然满足。条件3：可列可加性。令A=an；n=1,2,则m(A)=m(a1a2)=m(an)=0。,条件4：存在不可测的反例！？令A=0,1，对A中的实数a和b，如果a-b为有理数，则称这两个数具有“亲近”关系，记为ab。对于aA，用E(a)表示A中所有与a具有“亲近”关系的数的集合，称之为亲近集合。显然：如果ab，则E(a)=E(b)，即元素之间具有“亲近”关系，则对应的亲近集合相等；如果ab不成立，则E(a)E(b)=O，即元素之间不具有“亲近”关系，则对应的亲近集合的交为空集。,根据选择公理，在每个亲近集合中选出一个元素组成一个新的集合，用C表示。则集合E(a)C中只能含有一个元素。令区间-1,1中有理数排列：c1,c2,cn,。令CnB(cn,C)表示集合C对于cn的平移。令：Cn=C1C2。所以，任意cCn必有-1c2，则Cn-1,2；任意a0,1，b表示E(a)的元素，a-b=cn，0,1Cn。,这样就可以得到根据条件2，1m(Cn)3。根据条件4，m(Cn)=m(C)。根据条件3，m(Cn)=m(Cn)=m(C)。矛盾：如果m(C)=0，则m(Cn)=0；如果m(C)0，则m(Cn)=。原因：1.有些集合不能用基于区间长度的测度(勒贝格测度)进行度量。2.有些测度不满足条件3，即可列可加性；3.有限制地使用选择公理。,解决方案德国数学家卡拉西尔德瑞（C.Caratheodory,1873-1950）：首先，在一个由集合所构成的类上定义一个基于区间长度的集合测度(外测度)，允许这个集合测度不满足条件3。然后，用外测度对类中的集合进行度量，如果满足条件3#，称这个集合勒贝格可测，定义这个外测度为这个勒贝格测度。#虽然许多教科书中不是直接定义的，但是条件3总是可以不需要任何附加条件就被推导出来。,一般来说，这个定义不符合逻辑。因为，一个集合是否可测的“判断”发生在实际“操作”之后。与其称为“判断”还不如称其为“验证”更为恰当。幸亏数学家们证明了一个重要的性质所有开集和闭集都是勒贝格可测的，也就是说，我们通常遇见的集合都是勒贝格可测的。这是以法国数学家鲍莱尔（E.Borel,1871-1956）的名字命名的一个重要性质。应当有限制地使用选择公理，比如，限制在可列个集合。,图形的第一次抽象欧几里得几何原本描述定义：点、线、面、角。关系术语：相交、平行、垂直、全等。度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦)。带来的问题点：两条直线交于一点？平行：两条永远不相交的直线？全等：两个图形重合？修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何）无数（罗巴契夫几何）没有（黎曼几何）A：三角形。高斯曲率在A上的积分=三个角的和。,图形的第二次抽象希尔伯特几何基础：桌子、椅子、啤酒杯符号定义：A，a，关联公理：两点唯一决定一条直线、三点平面顺序公理：直线上一个点在两个点之间、直线通过三角形两个边合同公理：线段相等、角相等、三角形边角边全等平行公理：一条直线连续公理：阿基米德公理（无穷集合）公理体系：独立性、相容性、完备性1931年哥德尔：两个不完全性定理。算数公理体系完备与相容,全等变换刚体变换（平移、旋转、对称）两点间距离不变（角度不变、面积不变）仿射变换（距离变化、透视图）直线不变、圆锥曲线不变拓扑变换（直线变化）点、线、面、体不变哥尼斯堡七桥、四色定理、欧拉定理、庞加莱定理度量测度：集合的大小、概率论,推理：一种思维过程。思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维。命题：可以进行判断的话语。推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。命题+判断的四种形式：是是、是否、非是、非否。逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性。有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。,逻辑推理=演绎推理+归纳推理爱因斯坦：西方科学的发展是以两个伟大成就为基础的，那就是希腊哲学家发明的形式逻辑体系(表现在欧几里德几何中)，以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系(表现在文艺复兴时期)。杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。,演绎推理：命题范围由大到小，结果是必然的。亚里士多德：出发点和三段论(大前提、小前提、结论)数学归纳法、反证法、计算逻辑(冯诺依曼)论证基础：同一律：A就是A。集合、等量的等量还是等量(换元法等)矛盾律：A与非A不能同时成立。在反证法的证明过程中排中律：A与非A必有一个成立。反证法的依据论证形式：已知A求证B。A和B都是确定命题。不能创新,文艺复兴之后，培根、休谟、穆勒相继。归纳推理：命题范围由小到大，结果是或然的。不完全归纳法、类比法、实验、试验、调查功能：通过条件预测结果；通过结果探究成因。数学：结果是看出来的，而不是证出来的。代数：哥德巴赫猜想、费尔马大定理。几何：庞加莱猜想。数学思想概论东北师大出版社数量、图形、演绎、归纳。,归纳教学的例子：尝试。为得到公式a2b2=(a-b)(a+b)首先进行化简，令b=1。变化a可以得到：221=4-1=3321=9-1=8421=16-1=15521=25-1=24621=36-1=35因为8=24，15=35，24=46，35=57，可以想到a21=(a-1)(a+1)，然后考虑一般的b。从自然数的前n项和公式出发，得到平方和、立方和公式。,模型：构建数学与外部世界的桥梁。数学的应用叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。比如，方程叙述的是量相等的故事。距离=速度时间桥梁双方：数学+现实。流行病模型，投入产出模型各种场合：参数+约束。自由落体模型中的重力加速度,冯诺伊曼：数学思想来源于经验，这一点是比较接近真理的。真理实在太复杂，对之只能说接近，别的都不能说。数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。事实上，认为数学是一门创造性的、受审美因素支配的学科，比认为数学是一门别的、特别是经验的学科要更确切一些。换句话说，在距离经验本源很远的地方，或者在多次抽象的近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。,符号化、形式化、公理化的目的是为了更好的表达，对于数学的本身的发展，这些都不是本质的。数学的表达是符号的，但教学应当是物理的；证明是形式的，但教学应当是直观的；体系是公理的，但教学应当是归纳的。让学生、特别是基础教育阶段的学生体验数学思想，积累思维经验，培养他们会理解理解、思考、质疑、假设、验证创新。,3.统计基本思想统计学与数学都是利用抽象的概念和符合，但有所不同。立论基础数学：公理、假设；统计：数据、模型。关注重点数学：内部逻辑；统计：实际背景。推理方法数学：演绎推理；统计：归纳推理。判断准则数学：对与错；统计：好与坏。,如何理解数据？数据是信息的载体。数，图形，符号，话语数据是随机的，蕴含信息。由偶然到必然例1某小学的学生，对香港男演员，不是喜欢周星驰就是喜欢成龙。用函数、概率、统计的概念来表示这样的关系。用x表示这所小学的学生，用y=0表示周星驰，用y=1表示成龙。这样，就可以用y=f(x)表示学生x所喜欢的演员。,函数关系。假设：13年级的同学都喜欢周星驰，46年级的同学都喜欢成龙。这种关系可以表示为函数：,概率关系。假设：在这所小学中，有1/3的同学喜欢周星驰，2/3的同学喜欢成龙。那么，可以表示为概率关系：PY=0=1/3PY=1=2/3,统计关系。收集数据。如果随机调查了n名同学，其中k名同学喜欢周星驰。那么估计喜欢周星驰的同学的比例为：,如何理解统计关系的道理？假定模型：一个实验只有两个可能结果，成功或失败。用0表示失败，用1表示成功；用p表示成功的概率，则失败的概率是1p。称为Bernoulli模型。其中的概率p是未知的，是需要估计的。估计方法就是搜集数据，抽样调查或重复实验。这样的数据是独立同分布的，称这样的数据为样本。通过样本对背景进行估计，进行预测。,一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学生有放回地摸球。概率：验证出现白球的可能性4/5。不可操